Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

146 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
einem Kraftfeld betrachten – dann interessiert uns nur die am jeweiligen Ort des Teilchens
auf dieses wirkende Kraft – wir setzen uns gleichsam auf das Teilchen. Bei der Euler’schen
Betrachtungsweise dagegen ist der Beobachter ortsfest und betrachtet die Änderung eines
Feldes ohne jeweils das gleiche Volumenelement zu betrachten.
§ 583 In der Euler’schen Betrachtungsweise ist ε = ε(x, y, z, t), wobei die räumlichen Koordinaten
nicht von der Zeit abhängen. Die totale zeitliche Ableitung von ε ist damit gleich der
partiellen: dε/dt = ∂ε/∂t. Bei der Lagrange’schen Betrachtungsweise dagegen hängen auch
die Ortskoordinaten von der Zeit ab: ε = ε(x(t), y(t), z(t), t. Die totale zeitliche Ableitung
ergibt sich unter Anwendung der Kettenregel zu
dε
dt = dx
dt
∂ε
∂x + dy
dt
∂ε
∂y + dz
dt
∂ε
∂z + ∂ε
∂t . (4.11)
Die ersten drei Terme bestehen jeweils aus dem Produkt der zeitlichen Ableitung einer Raumkoordinate,
also einer Geschwindigkeit, und der räumlichen Ableitung des Feldes nach dieser
Koordinate, also einer Komponente des Gradienten. Dann können wir für (4.11) schreiben
dε
∂ε
= (⃗u · ∇)ε +
dt ∂t . (4.12)
§ 584 Die totale zeitliche Ableitung setzt sich also zusammen aus der partiellen Ableitung
und einem Term, der die Geschwindigkeit und den Gradienten des Feldes enthält, d.h. der
Änderung von ε aufgrund der Bewegung ⃗u im veränderlichen Feld. Dieser letzte Term wird als
advektiver Term bezeichnet. Formal ist der Ausdruck (⃗u · ∇) ein skalarer Differentialoperator
⃗u · ∇ = dx
dt
∂
∂x + dy
dt
∂
∂y + dz
dt
∂
∂z .
§ 585 Anschaulich bedeutet (4.12) z.B. dass sich die Lufttemperatur in einem festen Punkt,
∂T/∂t, ändert, wenn das Volumenelement durch die solare Einstrahlung erwärmt wird, dT/dt,
und wenn warme Luft aus der Abgasfahne des benachbarten Kraftwerks mit der Luftströmung
⃗u zugeführt wird, (⃗u·∇)T . Für eine gewisse Zeit kann die lokale Temperatur konstant gehalten
werden, ∂T/∂t = 0, wenn sich beide Effekte das Gleichgewicht halten: die Luft kühlt sich
durch Abstrahlung ab und es wird wärmere Luft zugeführt. Der konvektive Term (⃗u · ∇)T
kann nur dann zu einer lokalen Temperaturänderung beitragen, wenn sich die Luft bewegt
(⃗u ≠ 0), da sonst keine Zufuhr von Luft anderer Temperatur erfolgen kann, und wenn es
einen Temperaturgradienten ∇T gibt, da sonst zwar andere Luftpakete zugeführt werden,
diese aber die gleiche Temperatur haben.
4.5 Differentiation vektorwertiger Funktionen
§ 586 Das einfachste Beispiel einer vektorwertigen Funktion, die Bewegung ⃗r(t) ,ist uns
bereits mehrfach begegnet. Bei der Einführung zu Kap. 1 ebenso wie bei der Einführung
zu diesem Kapitel wurde bereits auf den Zusammenhang zwischen Ort und Geschwindigkeit
als ⃗v = d⃗r/dt = ˙⃗r hingewiesen. Mathematisch bedeutet dieser formale Zusammenhang, dass
vektorwertige Funktionen differenziert werden können.
4.5.1 Komponentenweises Differenzieren
§ 587 Die mathematischen Grundlagen wurden in den voran gegangenen Kapiteln gelegt:
• Vektoren können als geordnete Paare reeller (oder allgemeiner sogar komplexer) Zahlen
interpretiert werden (Kap. 1).
• vektorwertige Funktionen können als geordnete Paare reeller Funktionen interpretiert werden
(Abschn. 3.2.4).
• die Differentiation ist linear.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode