Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

378 KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
und in Zylinderkoordinaten aus (4.8) und (10.4) zu
∆A = 1 (
∂
ρ ∂A )
+ 1 ∂ 2 A
ρ ∂ρ ∂ρ ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂2 A
∂z 2 . (10.8)
Wir werden dem Laplace Operator bei den partiellen Differentialgleichungen in Kap. 11 noch
mehrfach begegnen; dort werden Sie auch Beispiele in krummlinigen Koordinaten finden.
Zwischenrechnung 58 Leiten Sie einen der beiden Ausdrücke für den Laplace Operator
explizit her.
10.2.3 Rotation
Definition 86 Die Rotation eines Vektorfeldes A(x, ⃗ y, z) = (A x , A y , A z ) ist, in kartesischen
Koordinaten, das Vektorfeld
⎛
rotA=∇ ⃗ × A= ⃗ ⎝ ∂/∂x
⎞ ⎛
∂/∂y ⎠× ⎝ A ⎞ ⎛
x
A y
⎠= ⎝ ∂A ⎞
z/∂y − ∂A y /∂z
∂A x /∂z − ∂A z /∂x ⎠ . (10.9)
∂/∂z A z ∂A y /∂x − ∂A x /∂y
§ 1416 Auch die Rotation ist eine lokale Größe. Sie ordnet jedem Punkt des Raumes einen
Vektor zu, der senkrecht auf dem Wirbel steht und dessen Länge ein Maß für die Wirbelstärke
ist. Eine mathematische Begründung werden wir im Zusammenhang mit dem Stokes’schen
Satz in Abschn. 10.4.2 kennen lernen; eine anschauliche Interpretation wird weiter unten
gegeben.
§ 1417 Ein Feld heißt in einem Bereich wirbelfrei, wenn in diesem Bereich rot ⃗ A verschwindet.
Beispiele für wirbelfreie Felder sind homogene Felder (z.B. das elektrische Feld im Innern
eines geladenen Plattenkondensators), kugel- oder radialsymmetrische Vektorfelder (Zentralfelder,
z.B. das elektrische Feld einer Punktladung, das Gravitationsfeld) und zylinder- oder
axialsymmetrische Vektorfelder (z.B. das elektrische Feld in der Umgebung eines geladenen
Zylinders).
§ 1418 Das Konzept des wirbelfreien Feldes findet in der Physik viele Anwendungen. So
lässt sich mit Hilfe der Rotation überprüfen, ob ein Kraftfeld konservativ ist oder nicht:
verschwindet die Rotation, so ist das Feld konservativ. Verschwindet die Rotation eines Feldes,
so lässt sich dieses als Gradient eines skalaren Potentials darstellen. Das Gravitationsfeld ist
ein Beispiel, beide Aspekte – die Darstellung als Gradient eines skalaren Potentials ebenso
wie die Beschreibung als konservatives Feld – sind bereits aus der Anängervorlesung bekannt.
§ 1419 Rechentechnisch bereitet die Bestimmung der Rotation keine Probleme, da wir sie
wie ein Vektorprodukt aus dem Nabla Operator und dem Vektorfeld berechnen. So ist die
Rotation des Vektorfeldes
⎛
⃗A = ⃗ω × ⃗r = ⎝ ω ⎞
yz − ω z y
ω z x − ω x z ⎠ (10.10)
ω x y − ω y x
gegeben als
⎛
∇ × A ⃗ = ⎝ ∂/∂x
⎞ ⎛
∂/∂y ⎠ ⎝ ω ⎞ ⎛
yz − ω z y
ω z x − ω y z ⎠ = ⎝ ω ⎞
x − (−ω x )
ω y + ω y
⎠ = 2⃗ω .
∂/∂z ω x y − ω y x ω z + ω z
Das Feld ⃗ A = ⃗ω × ⃗r ist, wie in Abschn. 559 beschrieben, ein Wirbelfeld; der Vektor ω
entspricht der Winkelgeschwindigkeit. Für die Rotation dieses Wirbelfeldes erhalten wir das
doppelte des Vektors ω. Die Rotation ist daher ein Vektor, der senkrecht auf dem Wirbel
steht und dessen Länge ein Maß für die Stärke dieses Wirbels ist. Da die Rotation nicht
verschwindet, ist ⃗ A nicht nur ein Beispiel für ein Wirbelfeld sondern auch ein Beispiel für ein
nicht-konservatives Feld – und entsprechend lässt es sich nicht als der Gradient eines skalaren
Potentials darstellen.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode