Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

6.2. GRUNDLAGEN 201
sind in R nicht definiert: Quadrate reeller Zahlen sind stets positiv, d.h. die Umkehrfunktion
√ ist nur für Radikanden größer oder gleich Null definiert.
§ 774 Der problematische Teil des Ausdrucks ist die in R nicht definierte Größe √ −25. Etwas
hemdsärmelig können wir diesen Ausdruck umschreiben als
√
−25 =
√
(−1) · 25 =
√
25
√
−1 = 5
√
−1 . (6.2)
Den Ausdruck √ −1 definieren wir als die imaginäre Einheit i. Damit gibt (6.2) eine imaginäre
Zahl, nämlich 5i. Die Summe aus einer reellen und einer imaginären Zahl, wie in (6.1),
bezeichnen wir als komplexe Zahl.
§ 775 Die imaginären Zahlen lassen sich nicht als einfache Erweiterung der reellen Zahlen auf
dem Zahlenstrahl darstellen sondern benötigen einen eigenen Zahlenstrahl. Daher kann man
die Summe 2 ± 5i aus (6.1) nicht zu einer Zahl zusammenfassen sondern muss die komplexe
Zahl als Summe aus dem Realteil 2 und dem Imaginärteil 5 stehen lassen. Graphisch werden
diese Zahlen in einer Zahlenebene dargestellt mit dem Realteil auf der Abszizze und dem
Imaginärteil auf der Ordinate. Daher sind komplexe Zahlen nicht geordnet: zwischen Zwei
komplexen Zahlen lässt sich keine Beziehung ‘ist größer als’ bzw. ‘ist kleiner als’ herstellen.
6.2 Grundlagen
§ 776 Die formale Grundlage für die Einführung des Körpers C der komplexen Zahlen erfolgte
1777 durch Euler. Die Gleichung x 2 + 1 = 0 hat keine Lösung im Reellen, d.h. für
x ∈ R. Euler war bereit, einen neuen Körper C einzuführen derart, dass es ein z ∈ C gibt,
dass die Gleichung z 2 + 1 = 0 löst. Diese unbekannte Zahl bezeichnete er als die imaginäre
Einheit i, die Lösung seiner Gleichung war damit z 1,2 = ±i. 2
6.2.1 Definitionen
Definition 53 Der Ausdruck i heißt die imaginäre Einheit. Er ist definiert als
i 2 = −1 . (6.3)
§ 777 Die in der Motivation verwendete Darstellung in (6.1) oder (6.2) suggeriert eine Definition
der Form i = √ −1. Als Merkregel oder Gedächtnisstütze mag das in Ordnung sein. Es
handelt sich jedoch nicht um eine mathematisch saubere Definition: so liefert der Ausdruck
(+ √ −1) (+ √ −1) wegen (+ √ −1) (+ √ −1) = + √ (−1) (−1) = + √ 1 = +1 ein Ergebnis, das
im Widerspruch zu (6.3) steht.
Definition 54 Ein Produkt aus einer reellen Zahl b und der imaginären Einheit wird als
imaginäre Zahl bi bezeichnet.
§ 778 Imaginäre Zahlen können, ebenso wie reelle Zahlen, in Form eines Zahlenstrahls dargestellt
werden: sie sind geordnet. Allerdings können imaginäre Zahlen nur Gleichungen der
Form z 2 + b 2 = 0 lösen. Die quadratische Gleichung in allgemeiner Form dagegen kann auf
eine komplexe Lösung führen wie in (6.1). gelöst.
Definition 55 Die Summe aus einer reellen Zahl a und einer imaginären Zahl bi ist die
komplexe Zahl z = a + bi.
§ 779 Eine komplexe Zahl z = a + bi besteht aus einem Realteil R(z) = a und einem
Imaginärteil I(z) = b.
2 Was an i so imaginär ist, ist schwer zu verstehen. Die Bezeichnung geht auf die Vorstellung zurück, dass
Gleichungen der Form x 2 = 2 eine geometrische Bedeutung haben, in dem sie z.B. die Länge der Diagonale
eines Einheitsquadrats beschreibt. Einer Gleichung der Form x 2 = −2 lässt sich jedoch keine geometrische
Bedeutung zuordnen. Daher wurden diese Gleichungen lange Zeit von den Mathematikern als bedeutungslos
betrachtet und ignoriert. Auf Grund der fehlenden geometrischen Bedeutung von x 2 = −1 ist auch die
Lösung dieser Gleichung ein Konstrukt, dass keinen realen Hintergrund hat, eine Imagination. Heutzutage
ist es schwer zu verstehen, warum imaginäre Zahlen weniger real sein sollen als reelle.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007