Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

328 KAPITEL 8. MATRIZEN
§ 1232 Zum Beweis dieses Satzes betrachten wir eine reelle symmetrische Matrix A. Ihre
Eigenvektoren seien ⃗v k zu den Eigenwerten λ k entsprechend der Bedingung A⃗v k = λ k ⃗v k . Da
A eine reelle Matrix ist, lässt sich das konjugiert komplexe der Eigenwertbeziehung schreiben
als A⃗v ∗ k = λ∗ k ⃗v∗ k . Diese Gleichung multiplizieren wir einmal mit ⃗v k und einmal mit ⃗v ∗ k und
erhalten die beiden Gleichungen
⃗v ∗ k · (A⃗v k ) = λ k v 2 k und ⃗v k (A⃗v ∗ k) = λ k v 2 k . (8.13)
Dabei haben wir verwendet, dass ⃗v k · ⃗v
k ∗ = ⃗v∗ k · ⃗v k = vk 2. Da A symmetrisch ist, gilt a ij = a ji .
Damit gilt
n∑ n∑
n∑ n∑
n∑ ∑
n
⃗v k ∗ · (A⃗v k ) =
a ij v k,j =
a ji v k,j =
a ji vk,i ∗ = ⃗v k · (A⃗v k ) .
vk,i
∗
i=1 j=1
vk,i
∗
i=1 j=1
v k,j
j=1 i=1
Einsetzen dieses Ausdrucks in (8.13) liefert λ k v 2 k = λ∗ k v2 k : die Eigenwerte λ k müssen reelle
Zahlen sein.
Satz 21 Die Eigenvektoren einer reellen symmetrischen Matrix zu unterschiedlichen Eigenwerten
sind orthogonal.
§ 1233 Zum Beweis betrachten wir zwei reelle Eigenwerte λ und µ mit λ ≠ µ. Für die
zugehörigen Eigenvektoren ⃗u und ⃗v gilt A⃗u = λ⃗u und A⃗v = µ⃗v. Skalare Multiplikation beider
Gleichungen mit dem jeweils anderen Eigenvektor liefert
⃗v · A⃗u = λ⃗v · ⃗u und ⃗u · A⃗v = µ⃗u · ⃗v .
Da A symmetrisch ist, ist ⃗v · A⃗u = ⃗u · A⃗v. Außerdem ist das Skalarprodukt kommutativ, d.h.
es ist ⃗v · ⃗u = ⃗u · ⃗v. Subtraktion der beiden Gleichungen liefert daher
(λ − µ)⃗u · ⃗v = 0 .
Da nach Voraussetzung λ ≠ µ, muss gelten ⃗u · ⃗v = 0 und damit ⃗u ⊥ ⃗v.
Satz 22 Für eine reelle symmetrische Matrix lässt sich stets eine Basis orthonormierter
Eigenvektoren finden.
§ 1234 Dieses Ergebnis folgt direkt aus den beiden voran gegangenen Sätzen solange die n
Eigenwerte verschieden sind. Für den Fall, dass ein Eigenwert m-fach auftritt (mit m ≤ n),
lässt sich zeigen, dass es möglich ist, m orthonormierte Eigenvektoren zu bestimmen.
Matrizen und Projektionen.
§ 1235 Matrizen sind Abbildungen, z.B. Translationen, Rotationen oder Projektionen. In
§ 115 haben wir die Projektion eines Vektors auf einen anderen mit Hilfe des Skalarprodukts
betrachtet. Alternativ können wir eine derartige Projektion mit einer Matrix P vornehmen.
§ 1236 Betrachten wir dazu einen Vektor ⃗a, der auf eine Richtung ⃗e p zu projizieren ist. Dann
muss gelten
P⃗a = c⃗e p
mit c als einer Konstanten. Sie entspricht der Länge des projizierten Vektors. Diese ist gemäß
(1.10) gegeben, so dass wir auch schreiben können
P⃗a = ⃗e p (⃗e p · ⃗a) . (8.14)
Diese Beziehung ist erfüllt für einen Projektionsoperator
P = ⃗e p ⃗e p ,
d.h. dem dyadischen Produkt der Projektionsrichtung ⃗e p mit sich selbst.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode