Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.10. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN MATLAB 295
wobei solver der Name des Verfahrens ist, z.B. ode45, tspan einen Vektor enthält, der Anfang
und Ende des Integrationsintervalls angibt, und x0 den Anfangswert enthält. Der letzte
Parameter, options, ist optional und erlaubt die Übergabe von Parametern, die z.B. die Genauigkeit
und die Art der Ausgabe der Lösung regeln. Die verschiedenen Lösungsverfahren
sind in Tab. B.8 zusammen gefasst.
Lösungsverfahren
§ 1112 Die in Tab. B.8 aufgelisteten Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
unterscheiden sich im Hinblick auf ihre Genauigkeit und die benötigte Rechenzeit.
Außerdem ist nicht jedes Lösungsverfahren für jede Art von DGL gleich gut geeignet. Daher
kann keine allgemeine Empfehlung für ein bestes Verfahren gegeben werden sondern es muss
ein dem speziellen Problem angepasstes Verfahren gefunden werden.
§ 1113 Die wichtigste Unterscheidung ist die zwischen steifen und nicht-steifen Differentialgleichungen:
eine Differentialgleichung wird als steif bezeichnet, wenn ihre Lösung eine
abfallende Exponentialfunktion enthält deren Zeitkonstante sehr klein ist gegen das Intervall,
in dem diese DGL gelöst werden soll. Ein Beispiel wäre ein radioaktiver Zerfall mit einer
Abklingszeit im Bereich von Sekunden und einem Integrationsintervall von mehreren Tagen.
Differentialgleichungen höherer Ordnung werden als steif bezeichnet, wenn sie Lösungen
mit verschiedenen Zerfallskonstanten besitzen und sich diese um Größenordnungen unterscheiden.
Die Bezeichnung steif geht möglicherweise auf die Untersuchung von Federpendeln
mit sehr steifen Federn, d.h. Federn mit großen Federkonstanten und entsprechend hohen
Schwingungsfrequenzen zurück.
§ 1114 Die Details und Realisierungen der einzelnen Funktionen werden in der MatLab-
Hilfe beschrieben, die eigentlichen Funktionen finden unter .\Toolbox\matlab\funfun.
§ 1115 Alle in MatLab implementierten Lösungsverfahren unterscheiden sich von unseren
handgestrickten Verfahren in drei wesentlichen Punkte:
1. die Verfahren bestimmen ihre Genauigkeit bzw. es kann eine gewünschte Genauigkeit
vorgegeben werden.
2. die Verfahren sind adaptiv, d.h. es muss keine Schrittweite bzw. Schrittzahl vorgegeben
werden – auch ist die Schrittweite nicht über das gesamte Lösungsintervall konstant.
Adaptive Verfahren haben wir bereits bei der numerischen Integration in Abschn. 5.5.4
kennen gelernt.
3. die Verfahren kontrollieren die Stabilität der Lösung.
Daher ist es im Gegensatz zu den Hand gestrickten Verfahren bei den in MatLab implementierten
nicht erforderlich, sich Gedanken über die Schrittzahl/Gitterweite und deren Beziehung
zur Genauigkeit der Lösungsverfahren zu machen – was Sie aber nicht von der Pflicht
entbindet, eine numerische Lösung stets sorgfältig zumindest auf Plausibilität und korrekte
Größenordnung zu überprüfen.
Die wichtigsten Verfahren
§ 1116 Die wichtigsten MatLab Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
sind ode45 und ode23 sowie gegebenenfalls ode113. ode45 ist eine Kombination aus einem
Runge–Kutta Verfahren 4. Ordnung mit einem 5. Ordnung, d.h. die Funktion wird in jedem
Integrationsintervall durch Polynome entsprechender Ordnung angenähert. Die Kombination
von zwei Ordnungen erlaubt die Überprüfung von Genauigkeit und Stabilität durch Vergleich.
ode45 können wir als Standardverfahren adoptieren: es ist relativ schnell, es ist ein
1-stufiges Verfahren (wir benötigen keine Zwischengitter wie beim Leapfrog) und es ist in
seiner Genauigkeit (Ordnung der Abweichungen) von mittlerer Qualität – was, wie wir beim
handgestrickten Verfahren gesehen haben, schon recht genau ist. ode23 basiert ebenfalls auf
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007