Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.5. DIFFERENTIATION VEKTORWERTIGER FUNKTIONEN 147
Auf Grund des letzten Punktes lassen sich die wesentlichen Konzepte reeller Funktionen auf
vektorwertige Funktionen übertragen. Dies gilt insbesondere für den Begriff des Grenzwertes.
Da letzterer der zentrale begriff der Differentiation ist, lassen sich die Konzepte der
Differentiation reeller Funktionen direkt auf die Differentiation vektorwertiger Funktionen
übertragen. Insbesondere lässt sich die Differentiation wieder definieren als der Quotient aus
der Differenz der Funktionswerte (Vektoren) für zwei Werte des Arguments durch die Differenz
dieser Argumente für den Grenzfall, dass die Differenz der Argumente gegen Null
geht:
d⃗r
dt = lim ⃗r(t + ∆t) − ⃗r(t)
.
∆t→0 ∆t
§ 588 Der Differenzenquotient lässt sich nach den Regeln der Vektorrechnung bilden:
⎛
d⃗r
dt = lim ⃗r(t + ∆t) − ⃗r(t)
= lim ⎝ [r ⎞
x(t + ∆t) − r x (t)]/∆t
[r y (t + ∆t) − r y (t)]/∆t ⎠ ,
∆t→0 ∆t
∆t→0
[r z (t + ∆t) − r z (t)]/∆t
d.h. der Differenzenquotient wird komponentenweise gebildet. Der Grenzübergang kann auf
Grund der Linearität ebenfalls komponentenweise ausgeführt werden, da er in allen Komponenten
für das gleiche ∆t → 0 erfolgt:
⎛
⎝ [r ⎞ ⎛
lim
x(t + ∆t) − r x (t)]/∆t
[r ⎞
x(t + ∆t) − r x (t)]/∆t
∆t→0
⎠ ⎜
= ⎝ lim
⎟
⎠ .
d⃗r
dt = lim
∆t→0
[r y (t + ∆t) − r y (t)]/∆t
[r z (t + ∆t) − r z (t)]/∆t
[r y(t + ∆t) − r y (t)]/∆t
∆t→0
lim [r z(t + ∆t) − r z (t)]/∆t
∆t→0
Nach ausführen des Grenzübergangs erhalten wir als einfache Regel für den Differentialquotienten:
Vektoren (genauer: vektorwertige Funktionen) werden komponentenweise differenziert,
oder formal
⎛
˙⃗r = d⃗r
dt = ⎝ dr ⎞
x(t)/dt
dr y (t)/dt ⎠ .
dr z (t)/dt
§ 589 Aus physikalischer Sicht ist diese Rechenanweisung ebenfalls plausibel. Die Geschwindigkeit
ist die Ableitung des Ortes nach der Zeit. Komponentenweises Ableiten des Ortes
liefert die zugehörigen Geschwindigkeitskomponenten:
⎛
⃗v = ˙⃗r = ⎝ dr ⎞ ⎛
x/dt
dr y /dt ⎠ =
dr z /dt
4.5.2 Rechenregeln
⎝ v ⎞
x
v y
⎠ .
v z
§ 590 Bei der Differentiation einer vektorwertigen Funktionen werden eigentlich keine Vektoren
differenziert sondern letztendlich nur reelle Funktionen, die durch die Klammer zu
einem Konstrukt namens Vektor zusammen gefasst wurden. Also gelten auch die bereits
in Abschn. 4.3.2 diskutierten Regeln. Der Vollständigkeit halber sind diese ohne weiteren
Kommentar, aber in einer Vektoren angemessenen Schreibweise hier noch einmal zusammen
gefasst:
• Faktorregel bei Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar α = const:
d(α⃗a)
= α d⃗a
dt dt .
• Summenregel:
d
(
⃗a +
dt
⃗ )
b = d⃗a
dt + d⃗ b
dt .
• Produktregeln gibt es mehrere, da es mehrere Vektorprodukte gibt:
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007