Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

6.3. EULER FORMEL 205
Die geraden Potenzen geben wegen i 2 = −1 jeweils reelle Größen, die ungeraden Potenzen
dagegen imaginäre. Sortieren nach reellen und imaginären Termen liefert für die Entwicklung
der Exponentialfunktion
e iϕ =
(1 − ϕ2
2! + ϕ4
4! − ϕ6
6! + . . . )
+ i
( ϕ
1! − ϕ3
3! + ϕ5
5! − ϕ7
7! + . . . )
.
Im ersten Term erkennen wir die Entwicklung des Kosinus aus (2.10) wieder, im zweiten die
des Sinus aus (2.9). Damit erhalten wir die bereits in (6.8) gegebene Euler Formel
e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ .
Verständnisfrage 11 Darf die Reihenentwicklung für die Exponentialfunktion einfach nach
reellen und imaginären Termen umsortiert werden oder müssen dafür bestimmte Voraussetzungen
erfüllt sein? Wenn ja, welche?
§ 794 Für den Spezialfall ϕ = π gibt die Euler Formel
e iπ + 1 = 0
einen Zusammenhang zwischen den beiden wichtigsten reellen Zahlen, 0 und 1, und den
beiden wichtigsten transzendenten Zahlen e und π.
6.3.2 Darstellung trigonometrischer Funktionen durch die Exponentialfunktion
§ 795 Mit Hilfe der Euler Formel lassen sich die trigonometrischen Funktionen durch die
Exponentialfunktion darstellen. Dazu betrachten wir (6.8) mit positivem und negativem Argument:
e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ und e −iϕ = cos ϕ − i sin ϕ .
Addition der beiden Gleichungen liefert als Darstellung für den Kosinus
cos ϕ = eiϕ + e −iϕ
. (6.9)
2
Entsprechend liefert die Subtraktion der beiden Gleichungen für den Sinus
sin ϕ = eiϕ − e −iϕ
2i
. (6.10)
§ 796 Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen lassen sich, ebenso wie die
der hyperbolischen Funktionen, mit Hilfe der Logarithmen darstellen:
arcsin ϕ = −i ln
(iϕ + √ )
(
1 − ϕ 2 und arccos ϕ = −i ln ϕ + √ )
ϕ 2 − 1 .
§ 797 Die Darstellungen von Sinus und Kosinus entsprechen denen der hyperbolischen Winkelfunktionen
(6.3) – außer das letztere mit reellem Exponenten dargestellt werden. In der
komplexen Ebene sind beide Darstellungen jedoch ähnlich, wie bereits in § 379 angedeutet:
die hyperbolischen Winkelfunktionen werden dann in Bezug auf die reelle Achse dargestellt,
die trigonometrischen Funktionen dagegen im Bezug auf die imaginäre Achse. Die mathematische
Struktur beider Gruppen von Funktionen ist jedoch identisch.
6.3.3 Mathematische Anwendungen
§ 798 Eine Anwendung der Euler Formel ist die Darstellung komplexer Zahlen in Polarform:
z = r cos ϕ + i r sin ϕ = r (cos ϕ + i sin ϕ) = r e iϕ .
Im linken Teil haben wir die trigonometrische Darstellung aus § 782 als Ausgangspunkt
gewählt.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007