Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.2. ÜBERSICHT 231
§ 889 Die DGL in § 888 ist bereits recht umfangreich, da sie drei auf die Masse wirkende
Kräfte berücksichtigt. Diese Kräfte hängen nicht explizit von der unabhängigen Variablen,
der Zeit t, ab. Diese Form der DGL wird als homogene Differentialgleichung bezeichnet.
Eine von der unabhängigen Variablen abhängende Kraft ergibt sich z.B. dann, wenn wir das
Federpendel zusätzlich zu festen Zeiten anstoßen. Mit dieser zeitabhängigen Kraft F (t), z.B.
F (t) = sin t, ergibt sich eine inhomogene Differentialgleichung
mẍ = −kx − βv − mg + F (t) .
Der zusätzliche Term F (t) wird als Inhomogenität oder Störglied bezeichnet: die homogene
SGL beschreibt das System Federpendel für den Fall, dass es sich selbst überlassen wird.
Die inhomogene DGL beschreibt sein Verhalten unter dem Einfluss einer äußeren Störgröße,
formal beschrieben durch die Inhomogenität.
7.1.2 Mathematische Motivation
§ 890 Gewöhnliche Differentialgleichungen sind ein Beispiel für den Einfluss der Physik auf
die Weiterentwicklung der Mathematik. Ein physikalisches Problem, das zweite Newton’sche
Gesetz, führt auf ein neues mathematisches Konstrukt, die Differentialgleichung. Die ersten
mathematischen Ansätze in der Untersuchung von Differentialgleichungen haben sich
daher im wesentlichen auf die Lösung gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen zweiter
Ordnung beschränkt – eine Einschränkung, die wir in diesem Kapitel größtenteils aufrecht
erhalten wollen; lediglich die DGLs erster Ordnung werden auf Grund der vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten
zusätzlich betrachtet.
§ 891 Die mathematisch wichtigen Begriffe betreffen nicht die Technik zur Lösung einer
DGL: diese kann durch Integration gelöst werden – ein Verfahren, dass in der Methode der
Separation der Variablen für DGLs erster Ordnung noch offensichtlich ist. Mathematisch
interessante Konzepte betreffen das Superpositionsprinzip und die Zusammensetzung der
Lösung einer inhomogenen DGL aus der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen
DGL und einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL.
§ 892 Das Superpositionsprinzip werden wir am Beispiel der DGL zweiter Ordnung kennen
lernen: zwei beliebige, linear unabhängige Lösungen einer DGL können als Basen eines Raumes
interpretiert werden, der die gesamte Mannigfaltigkeit an Lösungen darstellt; wir haben
diese Idee bereits in § 887 verwendet, als wir die Lösung der Bewegungsgleichung für das Federpendel
als Linearkombination der beiden Winkelfunktionen Sinus und Kosinus angegeben
haben. Diese Idee ist bereits vom Vektorraum bekannt: mit Linearkombinationen von zwei
linear unabhängigen Basen können wir alle Punkte im zweidimensionalen Raum beschreiben.
Für den n-dimensionalen Raum (und damit die DGL n ter Ordnung) werden entsprechend n
linear unabhängige Basisvektoren benötigt usw.
§ 893 Auch das zweistufige Verfahren zur Lösung einer inhomogenen DGL ist eine, wenn
auch indirekte Folge, des Superpositionsprinzips. Da die inhomogene DGL nicht mehr linear
ist, gilt für ihre Lösungen das Superpositionsprinzip nicht. Da sich aber zeigen lässt,
dass die Differenz zweier Lösungen der inhomogenen DGL die homogene DGL erfüllt, lässt
sich im Umkehrschluss zeigen, dass die Lösung der inhomogenen DGL sich zusammensetzt
aus der allgemeinen Lösung der homogenen DGL plus einer partikulären Lösung der inhomogenen
DGL: wir benötigen zur Beschreibung des durch eine äußere Kraft F (t) gestörten
Federpendels einerseits eine allgemeine Beschreibung (allgemeine Lösung) der Bewegung des
ungestörten Pendels und andererseits eine spezielle Beschreibung (partikuläre Lösung) des
Verhaltens des gestörten Pendels, die sich genau auf diese spezielle Störung bezieht.
7.2 Übersicht
§ 894 Im Zusammenhang mit den physikalischen Beispielen sind Sie bereits einer ersten
Klassifikation von Differentialgleichungen begegnet: der DGL erster Ordnung beim radioakc○
M.-B. Kallenrode 13. März 2007