Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

468 KAPITEL 12. STATISTIK
Abbildung 12.12: ’
Messwerte‘
und Anpassung aus Bsp. 1759
Die hier verwendeten Größen sind die Mittelwerte x, y der x- bzw. y-Komponenten der
Messpunkte, deren Standardabweichungen σ x , σ y , die empirische Kovarianz der Messpunkte
σ xy und der empirische Korrelationskoeffizient r mit
x = 1 ∑
n
x i , σx 2 = 1 ∑
n−1
(x i − x) 2 ,
i
σ 2 xy = 1
n−1
∑
(x i − x)(y i − y) , r = σxy
i
i
σ x σ y
.
§ 1759 Eine Messung hat die folgenden Datenpunkte ergeben:
x i -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y i -11.9 -9.7 -8.2 -5.9 -3.8 -2.1 0 1.8 4.0 6.2 7.7
Aus dieser Messung erhalten wir für die Mittelwerte der beiden Komponenten x = −1.99 und
y = 0 mit den Standardabweichungen s x = 6.56 und s y = 3.3 sowie der Kovarianz σ xy = 4.66.
Daraus ergibt sich eine Steigung der Ausgleichsgeraden (Regressionskoeffizient) von a = 1.98
mit einem Achsenabschnitt bei b = −1.99 und einem Korrelationskoeffizienten r = 0.99. Für
die Varianzen von Regressionskoeffizient und Achsenabschnitt ergeben sich σ a = 0.02 und
σ b = 0.02. Diese Varianzen sind ungewöhnlich klein, da der Korrelationskoeffizient r sehr
dicht an 1 liegt, vgl. Abb. 12.12.
Andere Ansätze für Ausgleichs- oder Regressionskurven:
§ 1760 Das Grundprinzip, die Summe der kleinste Abstandsquadrate zu verwenden, ist nicht
auf lineare Funktionen (12.32) beschränkt. Stattdessen kann (12.31) auch mit anderen Funktionen
f betrachtet werden. Beispiele für Lösungsansätze für Ausgleichs- oder Regressionskurven
sind z.B.
• quadratische Funktionen y = ax 2 + bx + c mit den anzupassenden Parametern a, b und c.
• Polynome n-ten Grades y = a n x n + a n−1 x n−1 + .. + a 0 mit den n + 1 anzupassenden
Parametern a 0 , a 1 ... a n .
• Potenzfunktionen y = ax b mit den Parametern a und b.
• Exponentialfunktionen y = ae bx mit den Parametern a und b.
• Logarithmusfunktionen y = a ln(bx) mit den Parametern a und b.
• gebrochen rationale Funktionen wie z.B.
y = ax + b
x
= a + b x , y = a
x + b
jeweils mit den Parametern a und b.
oder y = ax
x + b
(12.33)
In allen Fällen ist (12.31) zur Bestimmung der Parameter zu lösen, d.h. das Verfahren entspricht
dem der linearen Regression.
§ 1761 Alternativ können auch das gegebene Kochrezept auf andere Zusammenhänge erweitern,
in dem wir die angenommenen Zusammenhänge in eine Gleichung der Form (12.32)
überführen. Bei Untersuchungen zum Zerfallsgesetz N(t) = N 0 e −t/τ ist das Ziel die Bestimmung
der Zerfallskonstante τ aus der Messung der Zahl der zerfallenden Teilchen zu
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode