Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

498 ANHANG B. MATLAB: THE BASICS
MatLab Beschreibung Steps Ordnung
ode45 Runge–Kutta (4,5) Verfahren 1 mittel
ode23 Runge–Kutta (2,3) Verfahren 1 niedrig
ode113 Adams–Bashford–Moulton Verfahren multi hoch
ode15s Gear’s Verfahren (rückwärtige Differentiation) multi variabel
ode23s modifiziertes Rosenbrock-Verfahren 1 2
ode23tb implizites Runge–Kutta Verfahren
Tabelle B.8: In MatLab implementierte Funktionen zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.
Die oberen drei Verfahren beziehen sich auf nicht-steife Differentialgleichungen,
die anderen auf steife DGLs
B.5.5
Gewöhnliche Differentialgleichungen
§ 1842 In MatLab gibt es verschiedenen Verfahren zur numerischen Behandlung gewöhnlicher
Differentialgleichungen, siehe Tabelle B.8. Die Verfahren lassen sich in zwei Gruppen unterteilen:
die ersten drei sind insbesondere für nicht-steife DGLs geeignet, die unteren drei eher
für steife DGLs. Eine Differentialgleichung wird als steif bezeichnet, wenn ihre Lösung eine
abfallende Exponentialfunktion enthält deren Zeitkonstante sehr klein ist gegen das Intervall,
in dem diese DGL gelöst werden soll. Ein Beispiel wäre ein radioaktiver Zerfall mit einer
Abklingszeit im Bereich von Sekunden und einem Integrationsintervall von mehreren Tagen.
Differentialgleichungen höherer Ordnung werden als steif bezeichnet, wenn sie Lösungen mit
verschiedenen Zerfallskonstanten besitzen und sich diese um Größenordnungen unterscheiden.
Die Bezeichnung steif geht möglicherweise auf die Untersuchung von Federpendeln mit
sehr steifen Federn, d.h. Federn mit großen Federkonstanten zurück.
§ 1843 Die Details und Realisierungen der einzelnen Funktionen werden in der MatLab-
Hilfe beschrieben, die eigentlichen Funktionen finden sich im Directory Toolbox/matlab/funfun.
§ 1844 Alle in MatLab implementierten Lösungsverfahren unterscheiden sich von unseren
handgestrickten Verfahren in drei wesentlichen Punkte:
1. die Verfahren bestimmen ihre Genauigkeit bzw. es kann eine gewünschte Genauigkeit
vorgegeben werden;
2. die Verfahren sind adaptiv, d.h. es muss keine Schrittweite bzw. Schrittzahl vorgegeben
werden – auch ist die Schrittweite nicht über das gesamte Lösungsintervall konstant;
3. die Verfahren kontrollieren die Stabilität der Lösung.
Daher ist es im Gegensatz zu den handgestrickten Verfahren bei den in MatLab implementierten
nicht mehr erforderlich, sich Gedanken über die Schrittzahl/Gitterweite und deren
Beziehung zur Genauigkeit der Lösungsverfahren zu machen.
§ 1845 Die Lösungensverfahren sind in Abschn. 7.10.6 kurz beschrieben.
B.5.6
Matrizen
§ 1846 Für MatLab ist jede Größe eine Matrix mit komplexen Elementen. Eine natürliche
Zahl wird als eine 1 × 1-Matrix mit reellem Element betrachtet. Tabelle B.9 gibt einen
Überblick über die in MatLab vereinbarten Matrix-Operationen.
B.5.7
B.5.8
B.5.9
B.5.10
Vektoranalysis
Partielle Differentialgleichungen
Statistik
Graphische Darstellung allgemein
§ 1847 Graphische Darstellung in MatLab ist eine Kunst für sich. Zwar lassen sich alle
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode