Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

166 KAPITEL 5. INTEGRATION
Abbildung 5.2: Abfolge der Integration beim
Doppelintegral: die xy-Ebene ist in Quadrate
∆x ∆y unterteilt. Zur Summation gibt es zwei
Möglichkeiten: bei festem x alle ∆y-Intervalle
durchlaufen (rote Pfeile), dann bei x + ∆x
wiederholen bis alle Quadrate erfasst wurden.
Oder bei festem y alle ∆x-Intervalle durchlaufen
(grüner Pfeil), dieses bei y + ∆y wiederholen
bis auch alle y erfasst.
während ∆t ein Streckenstückchen ∆s = v ∆t zurück. Die Gesamtstrecke ergibt sich durch
Summation über alle Streckenstückchen:
s =
t 2
∑
t 1
∆s =
t 2
∑
t 1
v ∆t .
Im Grenzübergang ∆t → 0 wird aus der Summe das bereits in § 644 eingeführte bestimmte
Integral:
s = lim
∆t→0
t 2
∑
t 1
v ∆t =
∫ t 2
t 1
v dt .
§ 646 Damit haben wir uns auch die zweite Interpretation der Integration erarbeitet: Integration
ist eine Summation über unendlich viele infinitesimal kleine Elemente. Diese Summation
lässt sich direkt auf Funktionen von zwei Variablen übertragen, wie z.B. unserem
ansteigenden Tal in § 448. Auch in diesem Fall interpretieren wir das bestimmte Integral als
den Raumbereich zwischen dem Funktionsgraphen und der durch die unabhängigen Variablen
aufgespannten xy-Ebene. Allerdings ist der Raumbereich jetzt nicht die Fläche unter
dem Funktionsgraphen sondern ein Volumen: falls Sie das Matterhorn durch eine Funktion
f(x, y) beschrieben haben, können Sie auf diese Weise sein Volumen bestimmen.
§ 647 Um dieses Volumen zu bestimmen, zerlegen wir die Strecke entlang der x und der
y-Achse wieder in kleine Elemente ∆x und ∆y. Innerhalb dieser Elemente wird der Funktionswert
f(x, y) als konstant betrachtet und wir erhalten als Volumenelement ∆V eine Säule
mit Grundfläche ∆x ∆y und Höhe f(x, y): ∆V = f(x, y) ∆x , ∆y. Das Gesamtvolumen ist
die Summe dieser Teilvolumina:
∑x 2
∑y 2
V = f(x, y) ∆x ∆y ,
x 1 y 1
wobei wir nur dann alle Teilvolumina erreichen, wenn wir sowohl in x als auch in y-Richtung
aufsummieren. Die obige Doppelsumme können wir als zwei Schleifen lesen: wir beginnen bei
x 1 (äußere Summe) und summieren entlang der y-Achse alle Volumenelemente auf, deren
x-Koordinate eben dieses x 1 ist. Dann gehen wir ein Stück ∆x in x-Richtung weiter und
wiederholen die Summation entlang der y-Achse. Dieser Vorgang setzt sich fort bis wir auch
entlang x bis zum Endpunkt x 2 gelangt sind; Abb. 5.2 gibt eine Idee über die Anordnung
der zu addierenden Volumina. Die Summe über alle Volumenelemente ist das Volumen:
∑x 2
∑y 2
∑x 2
∑y 2
V = ∆V = f(x, y) ∆x ∆y .
x 1 y 1 x 1 y 1
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode