Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

24 KAPITEL 1. VEKTOREN
Abbildung 1.14:
Schiefe Ebene und
Arbeit
Abbildung 1.15: Vektorprodukte
in der Beschreibung von
Drehbewegungen
Arbeit
§ 122 Arbeit im physikalischen Sinne ist das Paradebeispiel für die Anwendung des Skalarprodukts
in der Physik. Aus der Schulphysik ist als Gebrauchsdefinition bekannt: Arbeit W
= Kraftkomponente F s in Wegrichtung mal zurück gelegtem Weg s oder W = F s s. Kraft
und Weg sind vektorielle Größen, d.h. in die skalare Größe Arbeit geht ein Produkt aus zwei
vektoriellen Größen ⃗ F und ⃗s ein. Die in der Gebrauchsdefinition erwähnte Kraftkomponente
entlang des Weges ist die Projektion F s des Vektors ⃗ F auf den Weg ⃗s. Damit lässt sich die
Arbeit schreiben als
W = ⃗ F · ⃗s = F s cos ϕ = F s s .
Ist der Weg jedoch wie in Abb. 1.1 gekrümmt, so muss er stückweise linear angenähert werden.
Die Produkte F ⃗ · ∆⃗s werden dann aufsummiert: W = ∑ F ⃗ · ∆⃗s. Im Grenzfall ∆⃗s → 0 ergibt
sich als allgemeiner Ausdruck für die Arbeit:
∫
W = ⃗F · d⃗s .
Auch hier erkennen wir den aus § 109 bekannten Zusammenhang: die Arbeit verschwindet,
wenn die Kraft senkrecht auf dem Weg und damit auf der Bewegungsrichtung steht.
§ 123 Die schiefe Ebene, siehe Abb. 1.14, ist ein einfaches Beispiel: ein Fass soll die durch
⃗s = (4, 3) m beschriebene Ebene gegen die Gewichtskraft F ⃗ = (0, 1000) N hinauf gerollt
werden. Die dabei verrichtete Arbeit W beträgt
( ) ( )
W = F ⃗ 0 4
· ⃗s = N · m = 3000 J .
1000 3
Ohne Vektoren hätten wir das Problem wie folgt lösen können: die Länge der schiefen Ebene
beträgt |s| = √ 3 2 + 4 2 m = 5 m. Die Projektion der Kraft auf die Ebene ist durch den
Kosinus des Neigungswinkels gegeben, also Höhe durch Länge der Ebene: F s = |F | cos ϕ =
1000 · 3/5 N = 600 N. Damit ergeben sich für das Produkt wieder 3000 J. 8
Wenn’s mal rund geht: Kreisbewegung
§ 124 Die momentane Geschwindigkeit ⃗v eines Körpers ist definiert als die Änderung seines
Ortes ⃗r mit der Zeit t: ⃗v = d⃗r/dt. Die so definierte Geschwindigkeit ⃗v wird auch als Bahnge-
8 Wenn Sie daran gedacht hätten, dass nur die Hubhöhe entscheidend ist, hätten Sie die 3000 J direkt sehen
können. Allerdings nur in dieser einfachen Geometrie; bei gedrehtem Koordinatensystem wäre das nicht mehr
so einfach gewesen: betrachten wir dazu das Problem in einem um π/4 gedrehten Koordinatensystem. Dann
wird die Rampe durch ⃗s ′ = (7, −1)/ √ 2 m beschrieben, die Kraft durch ⃗ F ′ = (1000, 1000)/sqrt2 N (die
Technik der Drehung wird in Abschn. 8.4.2 erklärt). Ihre Muskeln sollten keinen Unterschied zwischen der
Beschreibung der Bewegung im ursprünglichen und im gedrehten Koordinatensystem verspüren. Das wird
auch formal bestätigt: W ′ = ⃗ F ′ · ⃗s ′ = 3000 J = W .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode