Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

440 KAPITEL 12. STATISTIK
mit der die Erkrankung in der betrachteten Bevölkerungsgruppe auftritt und der Erkennrate
p(+|K) = 0.96. p(+) enthält die korrekt positiv getesteten Fälle, beschrieben durch
p(+ ∩ K), sowie die positiv getesteten Nicht-Erkrankten p(+ ∩ K). Damit erhalten wir für
die Wahrscheinlichkeit, dass die positiv getestete Person erkrankt ist
p(K|+) =
p(+ ∩ K)
p(+)
=
0.96p(K)
0.96p(K) + 0.06(1 − p(K)) ,
d.h. Aussagen über die Wahrscheinlichkeit, dass dem positiven Testergebnis die Erkrankung
zu Grunde liegt, können nur unter Kenntnis von p(K) gemacht werden. Ist die Erkrankung
relativ selten, p(K) = 10 −4 , so beträgt p(K|+) = 0.0016, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass
das Testergebnis korrekt war, beträgt lediglich 2 Promille, da eine wesentlich größere Zahl
gesunder Personen positiv getestet wurde als überhaupt Erkrankte vorhanden sind (bei Zehntausend
Personen wäre nur eine erkrankt aber 400 Gesunde würden positive getestet!). Bei
p(K) = 10 −3 ergibt sich p(K|+) = 0.016, für p(K) = 10 −2 ergibt sich p(K|+) = 0.14 und
für ein recht große Häufigkeit von p(K) = 0.1 ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 64%
bei positivem Test auch erkrankt zu sein. Oder anders formuliert: das positive Testergebnis
deutet für eine Person aus der Normalbevölkerung mit deutlich geringerer Wahrscheinlichkeit
auf eine Erkrankung als für eine Person aus einer Risikogruppe. Für eine sehr unterhaltsame
und anschauliche Diskussion derartiger Probleme mit der Statistik ist auf [4, 5] verwiesen.
§ 1644 In einer Sterbetafel wird zu jedem Alter x die Zahl N(x) der Personen tabelliert, die
von 100 000 Neugeborenen mindestens x Jahre alt werden. Für weibliche (mittlere Reihe)
und männliche (untere Reihe) Neugeborene gab die Sterbetafel Deutschland 1995/1997 die
folgenden Werte:
x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
N(x),w 100000 99393 99181 98835 98146 96362 92523 83332 60682 20623
N(x),m 100000 99231 98781 97827 96367 93020 85356 68037 38803 8676
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Neugeborenes mindestens 70 Jahre alt wird, lässt sich als
p(70) = N(70)/N(0) direkt aus der Tabelle ablesen (83% für ein weibliches und 68% für
ein männliches Neugeborenes). Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gegenwärtig 40 Jahre alte
Person mindestens 70 Jahre alt wird, ergibt sich dagegen als p(70|40) = p(40 ∩ 70)/p(40) =
N(70)/N(40) und damit 0.85 für Frauen und 0.71 für Männer. Entsprechend lässt sich die
Wahrscheinlichkeit, dass einen x Jahre alte Person noch mindestens 10 Jahre leben wird,
berechnen als p(x + 10) = N(x + 10)/N(x).
§ 1645 Mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für das
gleichzeitige Eintreten zweier Ereignisse A und B zu
p(A ∩ B) = p(A) p(B|A) .
Daraus lässt sich die folgende Definition ableiten:
Definition 97 Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängig oder statistisch unabhängig,
wenn gilt
p(A ∩ B) = p(A) p(B) .
12.1.4 Bayes’sche Formel
§ 1646 In natürlichen Systemen ist ein Ereignis oft das Ergebnis einer Folge von Ereignissen:
ob ein Apfelbaum Früchte tragen kann, hängt (u.a.) davon ab, ob er genug Wasser kriegt,
was u.a. davon abhängt, ob es ausreichend regnet, was u.a. davon abhängt, aus welcher Richtung
die Luftmassen heran transportiert wurden und ob sie genug Feuchtigkeit enthalten usw.
Dann ergibt sich eine Kette von Ereignissen, die jeweils mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit
auftreten und die bestimmen, in welcher Richtung sich das System weiter entwickelt. Derartige
Entwicklungen lassen sich in einem Ereignisbaum darstellen, vgl. Abb. 12.1; er enthält
alle möglichen Entwicklungen des Systems, mit ihm können wir verschiedenen Endzuständen
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode