Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.1. MOTIVATION 229
7.1 Motivation
7.1.1 Zwei Beispiele aus der Physik
§ 880 Eine radioaktive Substanz zerfällt mit einer Zerfallskonstante 1 λ [s −1 ]. In einem Zeitintervall
∆t zerfallen von den N vorhandenen Atomen ∆N = λN∆t Atome. Am Ende des
Zeitintervalls beträgt die Zahl der vorhandenen Atome
N(t + ∆t) = N(t) − λN(t)∆t
oder umformuliert
N(t + ∆t) − N(t)
= −λN(t) .
∆t
Im Grenzübergang ∆t → 0 ergibt sich daraus
dN
dt
= −λN oder kurz Ṅ = −λN . (7.1)
§ 881 Eine Gleichung dieser Form wird als Differentialgleichung (DGL) bezeichnet: sie verknüpft
eine Ableitung, in diesem Fall dN/dt, mit der Funktion N(t), ohne die Funktion N(t)
oder ihre Ableitung Ṅ(t) direkt anzugeben. Die Lösung dieser Differentialgleichung ist die
Funktion N(t), d.h. die DGL ist eine Bestimmungsgleichung für diese Funktion.
§ 882 Irgendwo in Ihrem Gedächtnis erinnert jetzt vielleicht die Schulphysik daran, dass das
Zerfallsgesetz durch eine Exponentialfunktion beschrieben wurde. Lässt sich das in der DGL
(7.1) wieder finden? Die Differentialgleichung besagt, dass die Ableitung Ṅ der Funktion N(t)
proportional zu dieser Funktion ist, d.h. gesucht ist die Ableitung einer Funktion, die bis auf
eine Proportionalitätskonstante wieder diese Funktion ergibt. Die Exponentialfunktion erfüllt
diese Bedingung, d.h. das Zerfallsgesetz wird die Form
N(t) = N 0 e −λt
haben. Zur Überprüfung leiten wir N(t) einmal ab und erhalten Ṅ = −λN 0 e −λt . Einsetzen
von Ṅ und N(t) in die DGL (7.1) zeigt, dass N(t) Lösung der DGL ist.
§ 883 Als zweites Beispiel aus der Physik betrachten wir die Bewegungsgleichung (zweites
Newton’sches Axiom) in skalarer Form:
dp
dt = ∑ F oder kurz ṗ = ∑ F .
Die linke Seite der Gleichung beschreibt die Änderung des Impulses einer Testmasse unter
dem Einfluss der auf der rechten Seite stehenden Kräfte. Die linke Seite lässt sich für eine
konstante Masse m schreiben als m ˙v oder mẍ. Die Art der sich ergebenden Gleichung hängt
von den Kräften ab, die auf der rechten Seite einzusetzen sind. Im einfachsten Fall wirkt eine
konstante Kraft, z.B. die Gravitationskraft −mg. Die zugehörige Differentialgleichung für die
Geschwindigkeit v(t)
m ˙v = −mg
lässt sich direkt integrieren und liefert das Geschwindigkeits–Zeit-Gesetz
v(t) = −gt + v 0
mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 als Integrationskonstante. Als Differentialgleichung für
den Ort liefert die Bewegungsgleichung bei konstanter Kraft
mẍ = −mg . (7.2)
Nach zweimaliger Integration ergibt sich daraus das Weg–Zeit-Gesetz
x(t) = − 1 2 gt2 + v 0 t + s 0
1 Die Zerfallskonstante ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Atom innerhalb eines bestimmten
Zeitintervalls, normalerweise eine Sekunde, zerfällt
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007