Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

C.3. ELEMENTARES INTEGRIEREN 541
Aufgabe 309 ** Einem Kegel soll ein zweiter Kegel so einbeschrieben werden, dass die
Spitze des zweiten Kegels im Mittelpunkt des Grundkreises des ersten Kegels liegt und dass
der einbeschriebene Kegel ein möglichst großes Volumen hat.
Aufgabe 310 ** Aus einer rechteckigen Fensterscheibe mit den Seitenlängen a und b ist
jeweils vom Mittelpunkt der kleineren Seite aus eine Ecke unter einem Winkel von 45 ◦ abgesprungen.
Aus der verbliebenen Scheibe soll durch Schnitte parallel zu den ursprünglichen
Seiten eine möglichst große neue Scheibe hergestellt werden. Wie sind die Maße der neuen
Scheibe zu wählen?
Aufgabe 311 ** Gegeben sein ein Dachboden mit einem gleichschenkligen Dreieck als Querschnitt,
einer Höhe von 4.8 m und einer Breite von 8 m. In ihm soll ein möglichst großes
quaderförmiges Zimmer eingerichtet werden.
Aufgabe 312 ** An einer gradlinigen Mauer soll ein rechteckiges Stück Land eingezäunt
werden. Eine Seite des Rechtecks soll von der Mauer gebildet werden. Es stehen 30 m Draht
zur Verfügung. Wie sind die Seitenlängen des Rechtecks zu wählen, damit sich ein möglichst
großer Flächeninhalt ergibt?
Aufgabe 313 * Bilden Sie die erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion f(x) =
0.1x 3 − 0.6x 2 − 1.5x + 5.6. Stellen Sie für x von -8 bis +8 eine Tabelle mit den zugehörigen
Werten der Funktion und ihrer Ableitungen auf.
Aufgabe 314 ** Gegeben sei die Funktion f(x) = (1 + x) −1 . Bestimmen Sie die Steigung
von f(x) im Schnittpunkt mit der y-Achse. In welchem Punkt hat der Funktionsgraph die
Steigung -2, in welchem Punkt die Steigung 1? Durch P(3,f(3)) wird die Tangente an f(x)
gelegt. Wo schneidet diese die x-Achse?
Aufgabe 315 ** Aus einem rechteckigen Stück Pappe mit den Seitenlängen 50 cm und
30 cm soll man einen Kasten ohne Deckel herstellen, indem man an jeder Ecke ein Quadrat
ausschneidet und die entstehenden Seitenflächen nach oben biegt. Der Kasten soll ein
möglichst großes Volumen haben.
Aufgabe 316 ** Zerlegen Sie die reelle Zahl a so in zwei Summanden, dass deren Produkt
möglichst groß wird.
Aufgabe 317 ** Der Querschnitt eines Tunnels habe die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem
Halbkreis. Sein Umfang sei U. Für welchen Radius des Halbkreises wird der
Flächeninhalt des Querschnitts am größten.
Aufgabe 318 ** Der Körperschwerpunkt eines schräg nach oben geworfenen Körpers genüge
der Gleichung
f(x) = − x2
50 + x + 2 .
Berechnen Sie die Scheitelhöhe der Flugbahn.
Aufgabe 319 ** Auf zwei gradlinig verlaufenden, senkrecht aufeinander stehenden Straßen
fahren zwei Fahrzeuge in Richtung Kreuzung, das eine mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s,
das andere mit 15 m/s. Als das erste Fahrzeug die Kreuzung passiert, befindet sich das zweite
60 m von der Kreuzung entfernt. Zu welchem Zeitpunkt ist die Annäherung der beiden
Fahrzeuge am größten?
Aufgabe 320 ** Zerlegen Sie die Zahl a so in zwei Summanden, dass die Summe aus dem
Verhältnis der beiden Zahlen und dessen reziprokem Wert ein Minimum wird.
Aufgabe 321 ** Eine oben offene Rinne soll aus zwei gleich breiten Brettern so gebaut
werden, dass sie möglichst viel Wasser hindurch lässt. Wie groß muss der von den beiden
Brettern eingeschlossene Winkel sein?
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007