Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

278 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
3. Bestimme daraus die neue Geschwindigkeit: v = v v + ∆v mit v v als der Geschwindigkeit
aus dem vorangegangenen Schritt bzw. beim ersten Schritt v 0 aus der Anfangsbedingung.
4. Bestimme aus der Geschwindigkeit unter Verwendung von (7.42) die Änderung des Ortes
während des Zeitintervalls: ∆x = v∆t.
5. Bestimme den neuen Ort: x = x v + ∆x, mit x v als dem Ort aus dem vorangegangenen
Schritt bzw. beim ersten Schritt als dem Anfangswert.
6. Erhöhe t um ∆t.
7. Gehe zu 1 und wiederhole die Schleife (oder beende das Schema, wenn ein Abbruchkriterium
erfüllt ist).
Auch dieses numerische Verfahren lässt sich leicht auf einem Rechner realisieren. Die richtige
Wahl der Schrittweite hat hier eine noch größere Bedeutung als bei numerischen Lösung
der Differentialgleichung erster Ordnung, da die Schrittweite zu numerischen Fehlern in den
Schritten 1, 2 und 5 führt.
7.9.2 Numerische Integration (von DGLs)
§ 1044 Nach dieser anschaulichen Einführung können wir die Suche nach einer numerischen
Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung auch etwas mathematischer formulieren und
dabei die Verwandschaft mit der numerischen Integration von Funktionen deutlich machen.
§ 1045 Das Aufsuchen der numerischen Lösung einer DGL wird als Cauchy Problem bezeichnet:
finde eine Lösung x in einem Intervall I derart, dass
ẋ(t) = f(t, x(t)) ∀ t ∈ I und x(0) = x 0 .
Ein derartiges Problem wird als Anfangswertproblem bezeichnet. Der Ausdruck f(t, x(t))
beschreibt die inhomogene DGL; reduzieren wir auf f(x(t)), so wird die homogene DGL
beschrieben.
§ 1046 Numerische Verfahren zur Integration einer Differentialgleichung lassen sich auf Verfahren
zur analytischen Lösung einer DGL und zur numerischen Integration zurückführen.
Dazu gehen wir von der homogenen DGL aus:
ẋ = f(x(t)) .
Analytisch lösen wir diese DGL durch Trennung der Variablen und anschließende Integration:
t+∆t ∫
t
dx =
∫
t+∆t
t
f(x(t)) dt .
Die Integrationskonstenten sind hier bereits so formuliert, dass wir leicht den Übergang auf
Zeitintervalle ∆t und beliebige Startzeiten t k z.B. an den Stützstellen des numerischen Verfahrens
vornehmen können.
§ 1047 Die Integration auf der linken Seite der separierten Gleichung kann direkt ausgeführt
werden:
x(t + ∆t) − x(t) =
∫
t+∆t
oder nach umstellen der Terme
x(t + ∆t) = x(t) +
t
∫
t+∆t
t
f(x(t)) dt
f(x(t)) dt .
Die numerische Lösung einer DGL ist damit auf die numerische Integration von f(x(t))
zurück geführt.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode