Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

366 KAPITEL 9. VERALLGEMEINERTE FUNKTIONEN
§ 1371 Nicht in MatLab implementierbar sondern nur in analytischen Rechnungen zu verwenden
ist dagegen die δ-Funktion.
Kontrollfragen
Kontrollfrage 32 ...
Fragen
Frage 97 Geben Sie eine anschauliche Erläuterung der δ-Funktion.
Frage 98 Begründen Sie, warum vereinfachende Darstellungen der δ-Funktion wie
{ { 1 x = 0
∞ x = 0
δ(x) =
oder δ(x) =
0 sonst
0 sonst
nicht sinnvoll sind.
Frage 99 Wie wird die δ-Funktion differenziert? Können Sie eine anschauliche Erklärung
geben?
Frage 100 Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen δ-Funktion und Heavyside-Funktion.
Frage 101 Ist das Argument einer δ-Funktion eine Funktion, so beschränkt man sich bei
der Zerlegung in einfache δ-Funktionen auf die Nullstellen dieser Funktion. Warum?
Frage 102 Welche anschauliche Bedeutung hat die Γ-Funktion?
Frage 103 Skizzieren Sie den Verlauf der Γ-Funktion.
Frage 104 Warum kann man die Γ-Funktion als ein sehr anschauliches Beispiel zur Erläuterung
des Begriffs der verallgemeinerten Funktion verwenden?
Frage 105 Welche Bedeutung hat die Error-Funktion
Frage 106 Skizzieren Sie den Verlauf der Error-Funktion.
Aufgaben
Aufgabe 176 Zeigen Sie, dass die Funktionen in (9.2) die für die δ-Funktion geforderten
Eigenschaften erfüllen.
Aufgabe 177 Geben Sie für die folgenden Situationen die Ladungsdichteverteilung ϱ(x) mit
Hilfe der δ- bzw. der Heavyside-Funktion an:
1. Punktladung mit Ladung Q im Punkt x = 2;
2. Punktladung mit Ladung Q im Punkt (2, 3, 1);
3. Dipol mit den Ladungen Q 1 bzw. −Q 2 in den Punkten x = −2 und x = 2;
4. geladener Kreisring mit Durchmesser R und Ladung Q;
5. homogen geladene Kreisscheibe mit Durchmesser R und Ladung Q;
6. homogen geladene Kugelschale mit Durchmesser R und Ladung Q;
7. homogen geladene Kugel mit Durchmesser R und Ladung Q;
8. homogen geladene Halbkugel mit Radius R und Ladung Q;
9. homogen geladener Zylinder mit Radius R, Höhe h und Ladung Q;
10. homogen geladener Zylindermantel (infinitesimal dünn) mit Radius R, Höhe h und Ladung
Q;
11. homogen geladener Zylindermantel mit Innenradius R i , Außenradius R a , Höhe h und
Ladung Q;
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode