Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

12.1. GRUNDLAGEN WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 439
§ 1640 Erweitern wir unsere Betrachtungen auf das Würfeln mit zwei Würfeln und suchen
die Wahrscheinlichkeit p(k), mit zwei Würfeln k Augen zu werfen. Die Menge der Elementarereignisse
ist Ω = {2, 3, 4, 5, ...., 11, 12}. In diesem Fall handelt es sich aber nicht um ein
Laplace-Experiment, d.h. es ist p(k) ≠ 1/n, da z.B. das Ergebnis k = 7 durch 6 verschiedene
Kombinationen (k 1 , k 2 ) erzeugt werden kann, k = 2 dagegen nur durch eine. Insgesamt gibt es
36 Kombinationen (k 1 , k 2 ), jede mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/36. Die Kombinationen
(k 1 , k 2 ) lassen sich tabellarisch darstellen als
(k 2 , k 1 ) 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
§ 1641 Daraus lässt sich die Zahl der Kombinationen, die ein Elementarereignis k 1 + k 2 aus
Ω erzeugt, ablesen:
k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
36 p(k) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
Die Wahrscheinlichkeit p(k) eines dieser Ereignisse ergibt sich als die Zahl der Kombinationen
dividiert durch 36. Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln eine 7 zu werfen ist also 6/36
oder 1/6, die eine 2 zu werfen dagegen 1/36.
12.1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition 96 Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses B unter der Voraussetzung,
dass A bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der
Bedingung A und ist definiert als
p(B|A) =
p(A ∩ B)
p(A)
. (12.2)
§ 1642 Würfeln mit zwei ununterscheidbaren Würfeln soll die Ereignisse A: die Augensumme
beträgt 6‘ und B: die Augenzahlen beider Würfel sollen ungerade sein‘ erzeugen. Das
’
’
Ereignis A wird durch 5 Kombinationen (vgl. Tabelle weiter oben) erzeugt. Von diesen führen
genau drei zum Ereignis B, d.h. unter den 5 möglichen Fällen mit der Augensumme 6 gibt
es genau drei günstige Fälle. Damit erhalten wir nach klassischer Wahrscheinlichkeitsdefinition
p(B|A) = g n
= 3 5
. Über die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit erhalten wir
das gleiche Ergebnis: Das Ereignis A ∩ B wird durch 3 Elementarereignisse realisiert. Daher
gibt es unter den 36 möglichen Fällen 3 für das Ereignis P (A ∩ B) günstige Fälle und es ist
p(A ∩ B) = 3
36 = 1
12
. Aus (12.2) ergibt sich
p(B|A) =
p(A ∩ B)
p(A)
=
3
36
5
36
= 3 5 . (12.3)
§ 1643 Ein medizinisches Diagnoseverfahren erkennt 96% der Erkrankten korrekt, ebenso
94% der Nicht-Erkrankten. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, bei der der
Test positiv ausfiel, diese Krankheit wirklich hat. Bekannt sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten
p(+|K) = 0.96 und p(−|K) = 0.94. Gesucht ist p(K|+), d.h. die Wahrscheinlichkeit,
dass die Person erkrankt ist unter der Bedingung, dass der Test positiv ausfiel. Zur
Anwendung von (12.2) benötigen wir die Wahrscheinlichkeit p(+ ∩ K), dass die Person erkrankt
ist und der Test ein positives Resultat geliefert hat sowie die Wahrscheinlichkeit p(+),
dass ein positives Ergebnis auftritt. p(+ ∩ K) ist das Produkt der Wahrscheinlichkeit p(K)
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007