Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.2. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN 123
Abbildung 4.1: Sekantensteigung
s im Intervall von x bis
x + ∆x und Tangentensteigungen
t(x) und t(x + ∆x) in
den Punkten x und x + ∆x
§ 480 Den Beispielen entsprechend zerfällt dieses Kapitel in zwei Teile. Die Wiederholung
der aus der Schule bekannten (und in Abschn. C.2.2 noch einmal etwas genauer ausgeführten)
Grundlagen der Differentiation von Funktionen einer Variablen stellt das Handwerkszeug des
für die physikalischen Anwendungen wichtigeren zweiten Teils zur Verfügung, der Differentiation
von Funktionen mehrerer Variablen und damit der Einführung der Begriffe des Feldes
und des Gradienten.
4.2 Differentiation von Funktionen einer Variablen
§ 481 Aus der Schule ist Ihnen eine Anwendung der Differentiation bekannt: die Ableitung
f ′ (x) einer Funktion f(x) an der Stelle x = x 0 gibt die Steigung der Funktion in diesem Punkt.
Anschaulich ist die Steigung die Tangente an den Funktionsgraphen. Etwas abstrakter kann
die Steigung auch so interpretiert werden, dass sie uns etwas über die infinitesimal kleine
Veränderung df(x) des Funktionswertes bei Veränderung der unabhängigen Variablen um
ein infinitesimal kleines Stückchen dx verrät. Für endliche Intervalle ∆x kann diese Steigung
durch den Differenzenquotienten ∆f(x)/∆x beschrieben werden. Bildet man dagegen den
Grenzwert des Differenzenquotienten für ∆x → 0, so ergibt sich der Differentialquotient, d.h.
die Ableitung der Funktion.
4.2.1 Differenzenquotient
Definition 40 Der Differenzenquotient ist der Quotient aus der Differenz der Funktionswerte
und der Differenz der Argumente:
m = ∆y
∆x = y 2 − y 1 f(x + ∆x) − f(x)
= .
x 2 − x 1 ∆x
§ 482 Anschaulich gibt der Differenzenquotient die mittlere Steigung des Graphen der Funktion
im Intervall x 1 bis x 2 , d.h. die Steigung der Sekante (Sekantensteigung). Diese ist dargestellt
durch die blaue Kurve in Abb. 4.1. Offenbar liefert diese nur eine sehr grobe Beschreibung
für die Veränderung der Funktion.
§ 483 Die Ableitung bzw. der Differentialquotient wird aus dem Differenzenquotienten für
den Grenzwert ∆x → 0 bestimmt. Der Differenzenquotient lässt sich für Funktionen, insbesondere
für Potenzen oder Funktionen, die als Potenzreihe dargestellt werden können, recht
einfach bestimmen.
§ 484 Betrachten wir die Funktion f(x) = 2x 3 + 4x 2 − 1. Die mittlere Steigung im Intervall
zwischen x und x + ∆x ist gegeben durch den Differenzenquotient
m =
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
= 2(x + ∆x)3 + 4(x + ∆x) 2 − 1 − (2x 3 + 4x 2 − 1)
∆x
= 2(x3 + 3x 2 ∆x + 3x(∆x) 2 + (∆x) 3 + 4(x 2 + 2x∆x + (∆x) 2 ) − 2x 3 − 4x 2
∆x
= 6x2 ∆x + 8x∆x + 6x(∆x) 2 + 4(∆x) 2 + 2(∆x) 3
∆x
= 6x 2 + 8x + 6x∆x + 4∆x + 2(∆x) 2 .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007