Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

5.5. NUMERISCHE INTEGRATION IN MATLAB 197
Aufgabe 79 Bestimmen Sie die Volumina folgender Körper: (a) Würfel mit Kantenlänge
a, (b) Quader mit Kantenlängen a, b und c, (c) Zylinder mit Radius R und Höhe H, (d)
Hohlzylinder mit Innenradius R i , Außenradius R a und Höhe H, (e) Pyramide mit Höhe H
und rechteckiger Grundfläche mit den Seitenlängen a und b, (f) Pyramidenstumpf mit Höhe
H, Grundfläche F und Deckfläche f, (g) Kegelstumpf mit Höhe H, Radius R der Grundfläche
und Radius r der Deckfläche, (h) Kugel mit Radius R, und (i) Kugelkalotte (Kugelabschnitt)
der Höhe H einer Kugel mit Radius R. Verwenden Sie jeweils ein dem Problem angemessenes
Koordinatensystem. Verwenden Sie jeweils das Dreifachintegral, verwenden Sie die Methode
des Rotationskörpers höchstens zum Vergleich!
Physikalische Anwendungen
Aufgabe 80 Die Bewegungsgleichung eines Federpendels lautet a(t) = −ω 2 cos(ωt). Bestimmen
Sie hieraus durch Integration das Geschwindigkeits-Zeit Gesetz v = v(t) und das
Weg-Zeit Gesetz s = s(t) in allgemeiner Form. Welche spezielle Lösung ergibt sich für die
Anfangswerte s(0) = 1 m und v(0) = 30 m/s.
Aufgabe 81 Beim Minigolfspielen wird ein ruhender Ball der Masse m = 0.1 kg weggeschlagen.
Der zeitliche Verlauf der auf den Ball ausgeübten Kraft lässt sich näherungsweise durch
eine Dreiecksfunktion beschreiben: die Kraft steigt innerhalb von 4 · 10 −3 s linear von 0 auf
200 N und sinkt danach linear in der gleichen Zeit ab. Mit welcher Geschwindigkeit v bewegt
sich der Ball fort?
Aufgabe 82 Ein Körper befindet sich zur Zeit t 0 am Ort ⃗r 0 . Auf ihn wirkt eine Beschleunigung
⎛
⃗a = ⎝ 6 ⎞
m/s3 t
6 m/s 3 t ⎠ .
10 m/s 2
Bestimmen Sie den Ort ⃗r(t) des Körpers in Abhängigkeit von der Zeit. Bestimmen Sie ferner,
wo sich der Körper nach 4 s und 10 s befindet, wenn er sich zur Zeit t 0 = 0 am Ort r 0 = 0
befindet und in Ruhe ist, d.h. ⃗v 0 = 0.
Aufgabe 83 Bestimmen Sie die beim Spannen einer Feder gegen die Rückstellkraft F = −kx
geleistete Arbeit.
Aufgabe 84 Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer Kugel, die um eine Achse durch den
Mittelpunkt rotiert in (a) kartesischen Koordinaten und (b) Kugelkoordinaten.
Aufgabe 85 Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines Stabes, der sich um eines seiner
Enden dreht.
Aufgabe 86 Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer Kreisscheibe mit Radius R und Höhe
H, die um eine Achse durch den Kreismittelpunkt (a) parallel zur Höhe und (b) parallel zu
einem Durchmesser der Grundfläche rotiert.
Aufgabe 87 Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines dünnen Rings mit Radius R, der um
eine durch den Schwerpunkt gehende Achse in der Ringebene rotiert.
Aufgabe 88 Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines Vollzylinders mit Radius R und
Höhe H, der um seine Zylinderachse rotiert.
Aufgabe 89 Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines Hohlzylindes mit Innenradius R i und
Außenradius R a , der um seine Zylinderachse rotiert. Vergleichen Sie mit dem Vollzylinder
aus Aufg. 88.
Aufgabe 90 Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines Vollzylinders mit Radius R und
Höhe H, der um eine Achse senkrecht zur Zylinderachse rotiert.
Aufgabe 91 Bestimmen Sie das Trägheitsmoment eines Diabolos (zwei mit der Spitze aufeinander
stehende Kreiskegel).
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007