Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.5. DGL ZWEITER ORDNUNG AM BEISPIEL DES FEDERPENDELS 251
Abbildung 7.8: Abhängigkeit des Phasenwinkels
ϕ zwischen Antriebskraft
und Schwingung vom Verhältnis der
Frequenz Ω der antreibenden Kraft zur
Frequenz der freien Schwingung ω 0 .
Die Phasenverschiebung ist maximal
für Ω = ω 0
§ 953 Die Gesamtlösung ergibt sich gemäß Superpositionsprinzip als Überlagerung aus der
allgemeinen Lösung der homogenen DGL und einer partikulären Lösung der inhomogenen
DGL für den Schwingfall zu
x(t) = x h (t) + x p (t) = e −γt (a cos(ω 0 t) + b sin(ω 0 t)) + A r cos(Ωt + ϕ) .
Der erste Teil der Lösung, die gedämpfte Schwingung, nimmt mit zunehmender Zeit auf
Grund des e −γt -Terms ab. Für große Zeiten bleibt nur der rechte Term, d.h. die partikuläre
Lösung für die erzwungene Schwingung. Dieses Einschwingverhalten, d.h. das Verschwinden
der gedämpften Schwingung in der Lösung mit zunehmender Zeit, wird auch in Abb. 7.7
deutlich.
Verständnisfrage 14 Wie verändern sich die Eigenschaften (formal und physikalisch) der
erzwungenen Schwingung wenn statt des Schwingfalls der Kriechfall bzw. der aperiodische
Grenzfall betrachtet werden?
§ 954 Für ein genaueres Verständnis der erzwungenen Schwingung brauchen wir also nur
die partikuläre Lösung (7.22) zu betrachten. Diese besagt, dass die erzwungene Schwingung
(zumindest nach dem Einschwingen) die Frequenz Ω der antreibenden Kraft hat, jedoch
verschoben um eine Phase ϕ. Gemäß (7.21) nimmt dieser Phasenwinkel mit zunehmender
Antriebsfrequenz Ω zu, so dass bei großem Ω Schwingung und Antrieb entgegen gesetzt laufen.
Sind Antriebsfrequenz und Frequenz der freien Schwingung identisch, Ω = ω 0 , verschwindet
der Nenner in (7.21) und die Phasenverschiebung beträgt π/2, vgl. Abb. 7.8.
§ 955 Die Amplitude (7.20) ist nur definiert für ω 2 0 − Ω 2 + 2iγΩ ≠ 0. Da dieser Nenner komplexwertig
ist, kann er nur dann verschwinden, wenn sowohl sein Real- als auch Imaginärteil
Null werden. Der Imaginärteil verschwindet bei verschwindender Dämpfung (γ = 0) oder
Zeit-unabhängiger Anregung (Ω = 0). Der letzte Fall ist uninteressant, da dann der Realteil
nicht verschwindet außer im trivialen Fall ω 0 = 0 – dann gibt es aber keine Schwingung.
Der Realteil verschwindet für Ω = ω 0 , d.h. wenn die Frequenz der antreibenden Kraft der
der freien Schwingung entspricht. Die Bedingung für diese Resonanzkatastrophe, bei der die
Amplitude gegen Unendlich strebt, sind also verschwindende Dämpfung und Anregung mit
der Eigenfrequenz der freien Schwingung.
§ 956 Auch bei vorhandener Dämpfung (γ ≠ 0) wird die Resonanz bei ω 0 = Ω als ein
Anwachsen der Amplitude deutlich, vgl. Abb. 7.9. Die sich dabei ergebende Schwingung hat
für 2γ 2 < ω0 2 eine Resonanzfrequenz
√
ω R = ω0 2 − 2γ2
mit einer Resonanzamplitude A Res von
A Res =
f a
2γ √ ω0 2 − = f a
γ2 2γω
mit ω als Frequenz der gedämpften Schwingung.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007