Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

12.5. SCHLIESSENDE STATISTIK 475
Aufgabe 262 Eine Klausur besteht aus 30 Multiple-Choice Aufgaben, in denen von den jeweils
5 möglichen Antworten genau eine richtig ist. Ein schlecht vorbereiteter Student verlässt
sich ganz auf sein Glück und würfelt die anzukreuzende Antwort (zeigt der Würfel eine 6,
würfelt er noch einmal). Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass (a) genau 12 Antworten
richtig sind, (b) höchstens 2 Antworten richtig sind, (c) mindestens 2 Antworten richtig
sind) und (d) mindestens die Hälfte der Antworten richtig und die Klausur damit bestanden
ist?
Aufgabe 263 Die Kapazität eines in großer Stückzahl hergestellten Kondensators kann als
eine normalverteilte Zufallsvariable angesehen werden. (a) Mit welchen Ausschussanteil ist
zu rechnen, wenn die Kapazität höchstens um 5% vom Sollwert (Mittelwert) µ = 100 µF
abweichen darf und die Standardabweichung σ = 4µF beträgt? (b) Wie ändert sich dieser
Ausschussanteil, wenn nur Kapazitätswerte zwischen 98 µF und 104 µF toleriert werden?
Aufgabe 264 Die in einer Physik-Klausur erzielte Punktzahl ist eine normalverteilte Zufallsgröße
mit Mittelwert µ = 20 und Standardabweichung σ = 4. 60% der teilnehmenden
Studentierenden haben bestanden. Welche Mindestpunktzahl war daher zu erreichen?
Aufgabe 265 Von 5000 Studenten einer Hochschule wurde das Gewicht bestimmt. Die Zufallsgröße
’
X = Gewicht eines Studenten‘ erwies sich dabei als eine normalverteilte Zufallsvariable
mit dem Mittelwert µ = 75 kg und der Standardabweichung σ = 5 kg. Wie viele
der untersuchten Studenten hatten dabei (a) ein Gewicht zwischen 69 kg und 80 kg, (b) ein
Gewicht über 80 kg, (c) ein Gewicht unter 69 kg.
Aufgabe 266 In einem Volumen V 0 befindet sich ein Gas, das aus N 0 nicht miteinander
wechselwirkenden Molekülen besteht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, N Moleküle
in einem Volumen V ≪ V o zu finden und wie groß ist die mittlere Anzahl von Molekülen in
V , wie groß ihre Varianz.
Aufgabe 267 Der Ausschuss bei der Produktion eines bestimmten Typs von Kondensatoren
beträgt 3%. Wie groß ist die mittlere Zahl defekter Kondensatoren in einer Industriepackung
von 1000 Stück? Wie groß sind Varianz und Standardabweichung der dazu gehörigen Binominalverteilung?
Aufgabe 268 Die Kapazität eines in großer Stückzahl hergestellten Kondensators kann als
normalverteilte Zufallsvariable angesehen werden. Mit welchem Ausschussanteil ist zu rechnen,
wenn die Kapazität höchstens um 5% vom Sollwert µ = 200 pF abweichen darf und die
Standardabweichung σ = 5 pF beträgt? Wie ändert sich der Ausschussanteil, wenn Kapazitätswerte
zwischen 196 und 215 pF toleriert werden?
Aufgabe 269 Ein Versuch hat 7 unterschiedliche Ausgänge mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten:
A i A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7
p(A i ) 2/25 3/25 7/25 1/25 8/25 1/25 3/25
Bestimmen Sie den Informationsgehalt jedes einzelnen Zeichens, den mittleren Informationsgehalt
eines Zeichens (Entropie) sowie die Redundanz.
Aufgabe 270 3 Würfel werden gleichzeitig geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit,
dass zwei der Würfel eine 5 zeigen, der dritte eine von 5 verschiedene Zahl.
Aufgabe 271 Wie viele Fünfen erwarten Sie, wenn Sie mit drei Würfeln gleichzeitig würfeln?
Aufgabe 272 In einer Telefonzentrale laufen im Mittel 100 Anrufe auf. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 75 Anrufe in einer halben Stunde ankommen? Wie groß
die, dass mehr als 50 in der halben Stunde eingehen?
Aufgabe 273 Bestimmen Sie die folgenden Größen unter der Annahme, das alle Fehler
unabhängig sind: (a) (12 ± 1) · [(25 ± 3) − (10 ± 1)], (b) √ 16 ± 4 + (3 ± 0.1) 3 · (2 ± 0.1), (c)
(20 ± 2) · e −(1.0±0.1)
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007