Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

542 ANHANG C. ERSTE HILFE
Aufgabe 322 ** Aus drei gleichbreiten Brettern soll eine Wasserrinne mit trapezförmigem
Querschnitt hergestellt werden. Für welchen Neigungswinkel der Seitenflächen wird der Querschnitt
am größten?
Aufgabe 323 ** Verkürzt man die längere Seite eines Rechtecks um den gleichen Betrag wie
man die kürzere Seite verlängert, so erhält man ein Rechteck, dessen Flächeninhalt möglichst
groß sein soll. Um welchen Wert sind die Seiten des gesuchten Rechtecks zu verändern? Wie
groß müssen die Seiten des gesuchten Rechtecks gewählt werden?
Aufgabe 324 ** Die Summe der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks ergibt k. Wie groß
sind die Katheten zu wählen, damit die Hypothenuse möglichst klein wird?
Aufgabe 325 ** In ein spitzwinkliges Dreieck mit der Grundlinie c und der Höhe h c ist
ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt einzubeschreiben, so dass eine Seite des
Rechtecks auf c liegt. Welche Abmessungen muss das Rechteck haben? Wie groß ist sein
Flächeninhalt?
Aufgabe 326 ** In einen Kreis mit Radius r ist ein Rechteck mit (a) möglichst großem
Flächeninhalt, (b) möglichst großem Umfang einzubeschreiben. Welche Abmessungen müssen
die Rechtecke jeweils haben?
Aufgabe 327 ** Zerlegen Sie die Zahl a so in zwei Summanden, dass das Produkt der m-
ten Potenz des einen Summanden und der n-ten Potenz des anderen Summanden möglichst
groß wird (m > 0, n > 0, m und n ganzzahlig).
Aufgabe 328 * Bestimmen Sie die Extrempunkte der folgenden Funktionen:
(a) f(x) = x · e −tx ,
(b) f(x) = −x 3 + 5x 2 − x ,
(c)
(d)
f(x) = x 2 + 1 x
, 2
f(x) = x
x 2 +1 .
Aufgabe 329 ** Der Punkt P = (a, f(a)) mit a > 0 liege auf der Kurve f(x) = 2/x. Die
Koordinatenachsen und ihre Parallelen durch P begrenzen ein Rechteck. Für welche Werte
von a ist der Umfang des Rechtecks am kleinsten? Wie groß ist dieser dann?
Aufgabe 330 ** Der Schnittpunkt des Graphen von f(x) = 1/ √ x − k/x mit der x-Achse
und der Extrempunkt des Graphen von f(x) seien Ecken eines Rechtecks mit achsenparallelen
Seiten. Für welche k ist der Umfang dieses Rechtecks extremal? Wie groß ist er dann?
Integralrechnung
Aufgabe 331 * Berechnen Sie die Integrale:
∫
(a) 3
∫
∫ x
dx ,
(b) 5x −7/2 dx ,
4 ∫
(c)
∫ (x ( + 3) 3 dx , ) (d)
∫ (x ( + 2)(x − a) dx ,
(e) 3x 4 − 2x 2 + 4 7 dx , (f) ax 3 + 5 x
− 2a ) ∫ ∫ ( dx ,
2
(g) (2i n + ni) di , (h) 3
)
∫ ( ) ∫ x
− 2 3 x
− 1 2 x dx ,
(i) sin r +
cos r
4 dr , (j) (e ν + e 2ω ) dν ,
∫ ∫ √ √
(k) 3 x e x dx ,
(l) x 2x dx ,
∫
(m) nx
n
2∫
1+n dx , (n) (−x 2 + 1) dx ,
(o)
(q)
(s)
(t)
−1 ∫
1∫
1
x dx , (p) e t dt ,
−∞
1∫
3∫
(x 3 + 1) dx , (r) (−x 3 + 4x 2 − 3x) dx ,
−3
−1
3∫
2
x
dx ,
(s)
2
1∫
(e x − 1) dx , (u)
0.5
0
−1
0
2π
∫
π
8∫
1
sin x dx ,
dx
x 3√ x ,
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode