Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

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INHALTSVERZEICHNIS
Was ist ein Vektor? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Definition des Vektorraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Wie viele Vektorräume gibt es? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6.3 Abstandsmessung im Vektorraum: Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . 34
Länge und Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Im Euklidischen Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Allgemeine Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.6.4 Pythagoras revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.5 Nicht-geometrische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Orthogonale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.7 Vektoren in MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7.1 Darstellung von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7.2 Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.7.3 Andere Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.7.4 Vektorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 Folgen und Reihen 49
2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.2 Beschränktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.3 Grenzwert und Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Häufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.1 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Harmonische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Alternierend harmonische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.2 Tests für Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Vergleichstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Leibniz Kriterium für alternierende Reihen . . . . . . . . . . . . . . . 61
Quotienten Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4 Potenzreihen Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4.1 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.2 Taylor Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4.3 MacLaurin Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Exponentialreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Weitere Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5 Mathematische Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5.1 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5.2 Direkter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5.3 Indirekter Beweis (Beweis durch Widerspruch) . . . . . . . . . . . . . 69
2.5.4 Gegenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.6 DaVinci decoded? Kaninchen, golden geschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.6.1 Fibonacci Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.6.2 Goldener Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.7 MatLab Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode