Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

26 KAPITEL 1. VEKTOREN
für den Zusammenhang zwischen dem Betrag der linearen Geschwindigkeit v und Winkelgeschwindigkeit
ω: v = ϱω. Der Vektor ⃗ω liegt also parallel zur Drehachse; sein Betrag ist
die Winkelgeschwindigkeit. Damit ist die Bewegung im dreidimensionalen Raum sowohl in
Betrag als auch Richtung beschrieben.
§ 129 In Analogie zum Impuls ⃗p = m⃗v der Translationsbewegung lässt sich ein Drehimpuls
⃗ L = I⃗ω definieren. An die Stelle der Masse m tritt das Trägheitsmoment I als der
Körperparameter, der den Widerstand gegen die Änderung der Bewegung quantifiziert – wir
werden dem Trägheitsmoment in Abschn. 5.3 noch mehrfach begegnen. Für einen Massenpunkt
lässt sich der Drehimpuls angeben als
⃗L = ⃗ϱ × ⃗p , (1.12)
für den starren Körper mit Trägheitsmoment I ergibt sich für dem Drehimpuls L ⃗ = I⃗ω. Für
einen Massenpunkt erhalten wir unter Verwendung von ⃗p = m⃗v = m( varrho ⃗ × ⃗v
⃗L = ⃗ϱ × ⃗p = m⃗ϱ × (⃗ω × ⃗ϱ = m[(⃗ϱ · ⃗ϱ)⃗ω − (⃗ϱ · ⃗ω)⃗ϱ .
Der letzte Term verschwindet, da ⃗ω senkrecht auf ⃗ϱ steht und damit das Skalarprodukt
verschwindet. Damit gilt für den Massenpunkt
⃗L = (mϱ 2 )⃗ω .
Das Trägheitsmoment eines Massenpunktes im Abstand ϱ von der Drehachse ist also wegen
⃗L = I⃗ω gegeben als
I ⊙ = mϱ 2 . (1.13)
§ 130 Interessanter wird es in der Dynamik. Newton’s zweites Axiom stellt einen Zusammenhang
zwischen der Bewegungsänderung eines Körpers der Masse m, beschrieben durch
die Beschleunigung ⃗a, und den auf den Körper wirkenden Kräften F ges = ∑ ⃗ Fi dar:
F ges = ∑ ⃗ Fi = m⃗a = d⃗p/dt .
Für ⃗ F ‖⃗p ändert sich zwar der Betrag der Geschwindigkeit, nicht aber die Richtung. 10 Ist
dagegen ⃗ F ⊥ ⃗p, so ändert sich, wie in § 109 gezeigt, zwar die Bewegungsrichtung, nicht aber
die kinetische Energie und damit auch nicht der Betrag der Geschwindigkeit. Das ist gerade
bei der gleichförmigen Kreisbewegung der Fall.
§ 131 Die gleichförmige Kreisbewegung ist also eine beschleunigte Bewegung. Andererseits
ist sie aber auch langweilig in dem Sinne, dass wir ja immer recht genau wissen wo der Körper
ist: irgendwo auf seiner Kreisbahn. Eine Möglichkeit, die Bewegung zu ändern, besteht darin,
die Drehachse zu kippen. Dann ändert sich ⃗ω und damit auch ⃗ L. Dieses Kippen der Drehachse
wird durch ein Drehmoment ⃗ D bewirkt, gegeben als das Kreuzprodukt aus dem Abstand der
angreifenden Kraft vom Drehpunkt der Drehachse und der Kraft:
⃗D = ⃗r × ⃗ F . (1.14)
Für einen ausgedehnten Körper mit Trägheitsmoment I lässt sich, entsprechend dem zweiten
Newton’schen Axiom, ein Zusammenhang zwischen der Winkelbeschleunigung ⃗α und dem
Drehmoment angeben:
⃗D = I⃗α .
§ 132 Formal lässt sich (1.14) leicht einsehen: dazu betrachten wir eine zeitliche Änderung
des Drehimpulses, indem wir (1.12) unter Berücksichtigung der Kettenregel ableiten:
dL
⃗
dt = d d⃗ϱ d⃗p
(⃗ϱ × ⃗p) = × ⃗p + ⃗r ×
dt dt dt .
10 Ok, wenn ⃗ F antiparallel zu ⃗v ist, kann sich die Bewegungsrichtung umkehren, die Bewegung erfolgt aber
immer entlang der gleichen Geraden.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode