Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

270 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
ergibt. Diese DGL ist auf Grund des v 2 -Terms nicht linear. Da sie sich aber separieren lässt,
können wir sie trotzdem lösen. Die Separation führt zu
dv
mg/γ + v 2 = − γ m dt .
Dieses Integral ist nicht durch Substitution zu lösen, ein Blick in die Formelsammlung (oder
Rückerinnerung an Abschn. 3.4.2 und insbesondere (3.6)) liefert den Hinweis, dass es sich
um einen Tangens Hyperbolicus handelt. Damit ergibt sich als Lösung
√ (√ )
mg gγ
v(t) = −
γ tanh m t .
Für große Zeiten geht der Tangens Hyperbolicus gegen 1 und wir erhalten als Grenzgeschwindigkeit
v ∞ = − √ mg/γ.
§ 1016 Für diese können wir zumindest eine Plausibilitätsbetrachtung anstellen. Hat der
Körper seine Grenzgeschwindigkeit v ∞ erreicht, so wird er nicht weiter beschleunigt. Damit
verschwindet der Beschleunigungsterm mẍ in der Bewegungsgleichung, d.h. die Summe
der auf den Körper wirkenden Kräfte verschwindet. Die Grenzgeschwindigkeit beim Fall mit
Reibung ergibt sich also wie bei der Stoke’schen Reibung aus dem Gleichgewicht von beschleunigender
Gravitationskraft und verzögernder Reibungskraft: γv∞
2 = −mg. Auflösen
liefert für die Grenzgeschwindigkeit −v ∞ = √ mg/γ.
7.8.2 Differentialgleichungen zweiter Ordnung
§ 1017 Wie bereits öfters erwähnt, ist das zweite Newton’sche Axiom eine Quelle für viele
Differentialgleichungen zweiter Ordnung: alle Bewegungsgleichungen sind mathematisch
DGLs zweiter Ordnung, auch wenn wir sie in den Fällen, in denen die Kraft nicht vom Ort
abhängt gegebenenfalls auf eine DGL erster Ordnung reduzieren können, wie in den voran gegangenen
Beispielen demonstriert. Die Umkehrung, alle DGLs zweiter Ordnung stammen aus
der Bewegungsgleichung, gilt nicht: DGLs zweiter Ordnung beschreiben z.B. Schwingungen
aller möglichen, und damit auch nicht-mechanischer Systeme, wie im folgenden beschrieben.
Aber auch DGLs zweiter Ordnung auf der Basis der Bewegungsgleichung müssen nicht zu
einer Schwingung führen, wie aus der DGL des Falls (mit oder ohne Reibung) deutlich sein
sollte und am Beispiel des über die Tischkante gleitenden Seils in § 1023 nochmals diskutiert
wird.
Schwingungsgleichung
§ 1018 Die mechanische Schwingung des Federpendels haben wir ausführlich in Abschn. 7.5
behandelt – wenn Sie den Abschnitt noch einmal durchlesen werden Sie bemerken, dass
eigentlich nur an einer Stelle wirklich auf das Federpendel eingegangen wurde, nämlich beim
Aufstellen der verschiedenen DGLs für den harmonischen Oszillator, die gedämpfte und die
erzwungene Schwingung. Die sich ergebenden Formen
ẍ + ω0x 2 = 0
ẍ + 2γẋ + ω0x 2 = 0
ẍ + 2γẋ + ω0x 2 = f A cos(Ωt)
harmonischer Oszillator, freie Schwingung
gedämpfte Schwingung
erzwungene Schwingung
gelten für beliebige Schwingungen. Wie bereits beim harmonischen Oszillator erwähnt, stecken
die physikalischen Parameter in ω 0 und γ – gegebenenfalls bedeutet x natürlich auch
eine andere physikalische Größe als den Weg.
§ 1019 Alle drei Gleichungen finden wir auch beim Wechselstromkreis wieder. Im einfachsten
Fall betrachten wir eine Kombination aus Spule und Kondensator, siehe linkes Teilbild
in Abb. 7.17. Am Anfang sei der Kondensator (Kapazität C) auf eine Spannung U max aufgeladen,
d.h. er trägt die maximale Ladungsmenge Q max = CU max . Er entlädt sich, so dass ein
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode