Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

C.3. ELEMENTARES INTEGRIEREN 535
Betrachten wir zum Vergleich noch die andere Zuordnung der Funktionen, d.h.
g(x) = cos(x) und h ′ (x) = x .
Ableitung bzw. Integral sind dann
g ′ (x) = − sin(x) und h(x) = 1 2 x2 .
Einsetzen in die Gleichung für die partielle Integration liefert
∫
∫
x cos(x) dx = x2
x
2
2 cos(x) − cos(x) dx .
2
damit ist das Restintegral aber schwieriger als das Ausgangsintegral, d.h. diese Variante
hat uns in die falsche Richtung geführt.
✷
§ 1893 Ein entsprechendes Verfahren lässt sich auch für das Integral x e x oder x sin(x)
anwenden – auch in diesen Beispielen funktioniert das Verfahren, weil die Ableitung von
g(x) = x Eins ist und damit das Restintegral einfach wird.
Beispiel 23 Schwieriger wird es bei der Integration der Funktion f(x) = 1 2 x2 cos(x).
Zwar ist der Vorteil der Wahl x 2 /2 als g(x) nicht so offensichtlich, aber immer noch
sinnvoller als die andere Variante. Damit erhalten wir
sowie
g(x) = 1 2 x2 und h ′ (x) = sin(x)
g ′ (x) = x und h(x) = − cos(x) .
Einsetzen in die Gleichung für die partielle Integration liefert
∫ x
2
∫
∫
cos(x) dx = −x2
2 2 cos(x) − x(− cos(x)) dx = − x2
2 cos(x) +
x cos(x) dx .
Das Restintegral ist jetzt einfacher geworden: es enthält zwar weiterhin ein Produkt
aus einer Winkelfunktion und einer Potenz, letztere jedoch von geringerer Ordnung.
Nochmalige partielle Integration würde, wie in Bsp. 22 gezeigt, auch das Restintegral
lösen, d.h. dieses Integral ließe sich durch zweimalige partielle Integration lösen. ✷
§ 1894 Zweimalige partielle Integration ist auch erforderlich, wenn ein Produkt aus Exponentialfunktion
und Winkelfunktion wie z.B. in Bsp. 17 zu integrieren ist. Ein entsprechendes
Beispiel wird im Haupttext in Abschn. ?? behandelt.
Nullstellen und bestimmtes Integral
§ 1895 Das bestimmte Integral gibt die Fläche unter dem Funktionsgraphen in dem Intervall,
das durch die Integrationsgrenzen spezifiziert wird. Betrachten wir das Beispiel ∫ sin(x) im
Bereich von 0 ◦ bis 360 ◦ (oder mathematisch korrekter: zwischen 0 und 2π):
360 ∫
◦
0 ◦ sin(x) dx = [− cos(x)] 360◦
0 ◦ = − [cos(360◦ ) − cos(0 ◦ )] = −(1 − 1) = 0 ,
d.h. die Fläche unter dem Funktionsgraphen verschwindet.
§ 1896 Das passt überhaupt nicht zu unserer Vorstellung vom Verlauf der Sinus-Funktion:
diese schneidet zwar die x-Achse, liegt aber außer an diesen Nullstellen nirgendwo auf der x-
Achse, d.h. es findet sich‘Fläche zwischen x-Achse und Funktionsgraph. Allerdings wechselt
die Funktion an der Nullstelle ihr Vorzeichen, vgl. Abb. C.6: zwischen 0 und 180 ◦ ist der
Sinus positiv, d.h. die Funktion liegt oberhalb der x-Achse und die Fläche ist positiv (rot
schraffierter Bereich). Zwischen 180 ◦ und 360 ◦ dagegen sind die Funktionswerte negativ, der
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007