Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.10. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN MATLAB 297
Abbildung 7.28: Vergleich
aller in MatLab
implementierten Verfahren
zur Lösung
gewöhnlicher Differentialgleichungen
was sich einerseits in relativ großen Abweichungen von der analytischen Lösung zeigt (siehe
Abb. 7.28), andererseits in recht langer Rechenzeit.
§ 1121 Die Laufzeit eines Statements in MatLab lässt sich mit Hilfe der Stoppuhr bestimmen.
Diese wird vor dem Statement mit tic gestartet und am Ende des Statements mit
toc gestoppt, wobei der Wert von toc einer Variablen zugewiesen oder auf dem Bildschirm
ausgegeben werden kann. Für die in Abb. 7.28 berechneten Kurven benötigte MatLab für
die einzelnen Lösungsverfahren auf einem älteren Notebook die folgenden Zeiten:
tic
toc
Funktion rungekutta ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s ode23tb
Zeit t [ms] 70 30 10 80 41 30 60
Dabei zeigt sich für dieses Problem ode45 als Sieger: bei vergleichbarer Genauigkeit wie
ode113 oder das handgestrickte rungekutta ist hier die Laufzeit am geringsten. Alle Solver
für steife Differentialgleichungen liefern bei vergleichbarer oder fast doppelt so großer
Rechenzeit nur um mehrere Größenordnungen verringerte Genauigkeit.
Steife Differentialgleichungen
§ 1122 Diese letzteren Verfahren sind jedoch speziell für steife Differentialgleichungen entwickelt,
d.h. Differentialgleichungen die eine abfallende Exponentialfunktion enthalten, deren
Zeitkonstante klein ist gegen das Integrationsintervall. Als Beispiel verwenden wir die simple
DGL für den radioaktiven Zerfall und setzen die Zeitkonstante gleich 1. Mit einem Integrationsintervall
von 0 bis 10 ist die Bedingung für eine steife DGL zwar noch nicht optimal
erfüllt aber zumindest angenähert. Abbildung 7.29 gibt einen Vergleich der verschiedenen in
MatLab implementierten Verfahren. Zusätzlich wurde das selbst gestrickte Runge-Kutta-
Verfahren mit 100 Schritten verwendet. Die anderen Verfahren kommen auch hier wieder
mit wesentlich weniger Schritten aus. In diesem Integrationsbereich sind die konventionellen
Verfahren alle noch recht genau, der Vorteil der steifen Verfahren liegt in ihrer geringeren
Rechenzeit. Erweitern wir den Integrationsbereich, so wird die Bedingung für eine steife DGL
noch besser erfüllt. Dann liefert MatLab mit allen Verfahren für große Zeiten sehr große
Fehler, während das handgestrickte Runge–Kutta-Verfahren auf Grund seiner kleinen Schrittweite
(und damit der Langsamkeit) auf eine recht genaue Annäherung führt. Allerdings sehen
wir auch, dass die für steife DGLs geschriebenen Verfahren wesentlich bessere Annäherungen
liefern als die für nicht-steife. Eine bessere Anpassung bei allen MatLab-Verfahren können
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007