Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

1.6. MATHEMATISCHE ERGÄNZUNG 33
Abbildung 1.17: Zwei
verschiedene Systeme
von Basisvektoren zur
Beschreibung der Position
eines Punktes
im dreidimensionalen
Raum
§ 158 Eine wichtige Konsequenz von Satz 1 wurde bereits in § 143 erwähnt: die Lösung
eines Systems von linearen Gleichungen lässt sich wieder als lineare Gleichung darstellen.
Betrachten wir dazu das Gleichungssystem
A i1 x 1 + . . . + A in x n = 0 i = 1, . . . , m, A ij ∈ R n .
Jede dieser m Gleichungen kann als Unterraum von R n verstanden werden. Die gleichzeitige
Lösung dieses Systems ist die Menge von Punkten, die in jedem der Unterräume enthalten
ist, d.h. der Schnitt der Unterräume. Dieser ist gleichzeitig ein Unterraum von R m .
Wie viele Vektorräume gibt es?
§ 159 Die Diskussion um Unterräume erweckt den Eindruck, als könne es unendlich viele
verschiedene Vektorräume geben. Im mathematischen Sinne ist die Anzahl der Vektorräume
jedoch gering, da sie nur durch ihre Dimension unterschieden werden. Alle Vektorräume mit
gleicher Dimension sind mathematisch gesehen identisch: im Hinblick auf die mathematische
Behandlung ist eine Ebene genauso gut oder schlecht wie jede andere.
§ 160 Ein Punkt in unserem gewöhnlicher dreidimensionaler Raum lässt sich durch Angabe
von drei Zahlen beschreiben, die seine Lage im Bezug auf einen Koordinatenursprung beschreiben:
von dort gehen wir eine bestimmte Strecke vorwärts, aufwärts und zur Seite. Sind
die Richtungen ⃗i, ⃗j und ⃗ k festgelegt, so müssen nur noch die Koordinaten gegeben werden,
d.h. die Strecken x i , x j und x k , die entlang jeder dieser Richtungen zurück gelegt werden
müssen, um den Ort ⃗r zu erreichen:
⃗r = x i
⃗i + x j
⃗j + x k
⃗ k .
§ 161 Für die Auswahl der Vektoren⃗i, ⃗j und ⃗ k gibt es keine natürliche Regel. Im kartesischen
Koordinatensystem verwenden wir die Einheitsvektoren ⃗e x , ⃗e x und ⃗e z . Aber auch die Vektoren
⃗e 1 = ⃗e x + ⃗e y , ⃗e 2 = 3⃗e z und ⃗e 3 = ⃗e x − ⃗e y + ⃗e z
können zur Festlegung der Bezugsrichtungen dienen, siehe Abb. 1.17 – allerdings dann für
neue Koordinaten X 1 bis X 3 mit
⃗r = X 1 ⃗e 1 + X 2 ⃗e 2 + X 3 ⃗e 3
= X 1 (⃗e x + ⃗e y ) + 3X 2 ⃗e z + X 3 (⃗e x − ⃗e y + ⃗e z )
= (X 1 + X 3 )⃗e x + (X 1 + 3X 2 − X 3 )⃗e y + X 3 ⃗e z .
Eine Transformation zwischen den beiden Sätzen von Basisvektoren zur Beschreibung ist
möglich, d.h. alle Punkte des Raums können in beiden Systemen beschrieben werden. Die
letzte Gleichung z.B. gibt für die Transformation der Komponentne X i auf die x i die Regeln
x 1 = X 1 + X 3 , x 2 = X 1 + 3X 2 − X 3 und x 3 = X 3 .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007