Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

242 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Abbildung 7.1: Federpendel: horizontal
(rechts) und vertikal (links)
x=0
(ohne Masse m)
x=0
(mit Masse m)
x
∆x
0
∆ x
x=0
∆x
x
• harmonischer Oszillator: wirkt auf die Masse m nur die Rückstellkraft −kx der Feder, so
wird die Bewegungsgleichung
ẍ + ω 2 0x = 0 mit ω 2 0 = k/m > 0 .
Eine Gleichung dieser Form mit positivem Koeffizienten ω 2 0 gibt immer eine Schwingung
mit eine Lösung in der Form 2
x(t) = A sin(ω 0 t) + B cos(ω 0 t) ,
auch als freie Schwingung bezeichnet.
• neben der Rückstellkraft −kx der Feder wirkt eine Reibungskraft −βv bzw. −βẋ. Damit
wird die Bewegungsgleichung zu
ẍ + 2γẋ + ω 2 0x = 0 mit 2γ = β/m > 0 .
Für diese DGL lässt sich keine allgemeine Lösungsform mehr angeben; je nach Radikant
in der charakteristischen Gleichung ergibt sich eine gedämpfte Schwingung mit
x(t) = e −γt (a cos(ω 0 t) + b sin(ω 0 t)) ,
eine überdämpfte Schwingung (Kriechfall) mit
x(t) = e −γt ( ae˜ωt + be −˜ωt)
oder der aperiodische Grenzfall:
x(t) = x 1 (t) + x 2 (t) = (a + bt) e −γt .
Allen Lösung ist allerdings gemein, dass die Amplitude auf Grund der Dämpfung mit
zunehmender Zeit asymptotisch gegen Null geht, formal angezeigt durch den Faktor e −γt .
• neben Rückstellkraft −kx und Reibungskraft −βẋ wirkt eine antreibender Kraft F a cos(Ωt)
mit Amplitude F a und Frequenz Ω:
ẍ + 2γẋ + ω 2 0x = f a cos(Ωt) mit f A = F A /m .
Formal wird diese erzwungene Schwingung durch eine inhomogene DGL zweiter Ordnung
beschrieben. Die Lösung setzt sich zusammen aus der Lösung der homogene DGL (das
ist eine abklingende Funktion!) und der Lösung der inhomogenen DGL, so dass für späte
Zeiten die Bewegung durch die antreibende Kraft bestimmt ist, die Eigenschwingung dagegen
keine Rolle mehr spielt – außer in dem Fall, dass Eigensschwingung und Anregung
in Resonanz sind und die Schwingung sich bei nicht ausreichender Dämpfung bis zur Resonanzkatastrophe
aufschaukeln kann.
Verständnisfrage 13 Betrachten Sie ein hängendes Federpendel (vgl. Abb. 7.1). Dann
wirkt neben den oben beschriebenen Kräften auch die Gewichtskraft wie bereits in § 888
angedeutet. Verändern sich die Bewegungsgleichung und die Lösung? Und wenn ja, wie?
2 Bei physikalischen Problemen ist die Bedingung des positiven Koeffizienten ω0 2 stets erfüllt: die Kraft auf
der rechten Seite ist eine rücktreibende Kraft, daher steht sie rechts mit einem Minus. Wird sie auf die linke
Seite gebracht, so wird daraus ein Plus. Die Vorfaktoren setzen sich aus den Eigenschaften physikalischer
Objekte wie Masse und Federkonstante oder Ladung und Kapazität zusammen. Diese Größen sind stets
reell (und damit spätestens nach dem Quadrieren positiv), so dass ω0
2 sich zwar aus anderen Größen als
Federkonstante und Masse zusammen setzen kann, aber trotzdem positiv ist.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode