Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

C.1. BINOME, POTENZEN, PQ-FORMELN 519
ln(a · b) = ln(a) + ln(b)
ln( a b
) = ln(a) − ln(b)
ln(a b ) = b · ln(a)
ln(a −1 = − ln(a)
Logarithmus eines Produkts
Logarithmus eines Quotienten
Logarithmus einer Potenz
Logarithmus eines Kehrwerts
Tabelle C.2: Rechenregeln für
Logarithmen
b, x und y enthält. Besondere Beachtung verdient nur der letzte Quotient, da durch
ihn geteilt wird. Ok, man dividiert durch einen Quotienten in dem man mit seinem
Kehrwert multipliziert. Aber gilt das auch, wenn der Quotient quadriert wird? Ja,
da wir das Quadrat ja auf Zähler und Nenner verteilen können, dann den Kehrwert
bilden und anschließend wieder Zähler und Nenner unter einem gemeinsamen Quadrat
zusammen fassen können:
( 25x 3 b 3 ) 2
1 ÷
12y 4 = 1 ÷ (25x3 b 3 ) 2
a (12y 4 a) 2 = (12y4 a) 2 ( 12y 4 ) 2
(25x 3 b 3 ) 2 = a
25x 3 b 3 .
Damit wird unser Ausgangsausdruck zu
( ) 2xb
3 3 ( 15x 2 a 3 ) 2 ( 25x 3 b 3 ) 2 ( ) 2xb
3 3
3ya 3 ·
8y 3 ÷
b 12y 4 =
a 3ya 3 ·
( 15x 2 a 3
8y 3 b
) 2 ( 12y 4 ) 2
a
·
25x 3 b 3 .
Die weitere Strategie bleibt Ihnen überlassen. Ich habe mich dafür entschieden, die
Potenzen der Brüche jeweils auf Zähler und Nenner zu verteilen:
( ) 2xb
3 3 ( 15x 2 a 3 ) 2 ( 25x 3 b 3 ) 2
3ya 3 ·
8y 3 ÷
b 12y 4 = (2xb3 ) 3
a (3ya 3 ) 3 · (15x2 a 3 ) 2
(8y 3 b) 2 · (12y4 a) 2
(25x 3 b 3 ) 2 .
In Zähler und Nenner stehen jetzt jeweils Produkte unter diesen Potenzen. Die Potenzen
müssen auf alle Faktoren dieser Produkte verteilt werden, auch auf die Zahlen!
( ) 2xb
3 3 ( 15x 2 a 3 ) 2 ( 25x 3 b 3 ) 2
3ya 3 ·
8y 3 ÷
b 12y 4 = 23 x 3 b 9
a 3 3 y 3 a 9 · 152 x 4 a 6
8 2 y 6 b 2 · 122 y 8 a 2
25 2 x 6 b 6 .
Jetzt können wir alles auf einen Bruchstrich packen
( ) 2xb
3 3 ( 15x 2 a 3 ) 2 ( 25x 3 b 3 ) 2
3ya 3 ·
8y 3 ÷
b 12y 4 = 23 x 3 b 9 15 2 x 4 a 6 12 2 y 8 a 2
a 3 3 y 3 a 9 8 2 y 6 b 2 25 2 x 6 b 6
und die Potenzen sortieren
( ) 2xb
3 3 ( 15x 2 a 3 ) 2 ( 25x 3 b 3 ) 2
3ya 3 ·
8y 3 ÷
b 12y 4 = (23 · 15 2 · 12 2 )a 8 b 9 x 7 y 8
a (3 3 · 8 2 · 25 2 )a 9 b 8 y 9 x 6
Fangen wir an, die Zahlen zu sortieren:
2 3 · 15 2 · 12 2
3 3 · 8 2 · 25 2 = 23 · 3 2 · 5 2 · 3 2 · 2 2 · 2 2
3 3 · 2 2 · 2 2 · 2 2 · 5 2 · 5 2 = .
Die anderen Ausdrücke lassen sich zusammen fassen als
a 8 b 9 x 7 y 8
a 9 b 8 y 9 x 6 = bx
ay .
Damit erhalten wir als Endergebnis
( 2xb
3
3ya 3 ) 3
·
( 15x 2 a 3 ) 2 ( 25x 3 b 3
÷
8y 3 b
12y 4 a
) 2
= 6 bx
25 ay .
✷
§ 1865 Die Umkehrfunktion der Potenzfunktion ist der Logarithmus zur entsprechenden
Basis. Die Rechenregeln für diese Umkehrfunktion lassen sich aus denen der Potenzfunktion
herleiten. Betrachten wir als Basis die Euler Zahl e, die zugehörige Umkehrfunktion ist der
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007