Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

10.3. INTEGRATION: LINIEN- UND OBERFLÄCHENINTEGRAL 387
§ 1453 Sind die Parameter u und v einer Fläche ⃗r = ⃗r(u, v) Funktionen einer reellen Variablen
t, so beschreibt der Ortsvektor
⃗r = ⃗r(t) = ⃗r(u(t), v(t))
eine auf der Fläche verlaufende Kurve (Flächenkurve). Der Tangentenvektor dieser Flächenkurve
ist
˙⃗r = d⃗r
dt = ˙u ⃗t u + ˙v⃗t v .
Flächen vom Typ z = f(x, y)
§ 1454 Besonders einfach wird die Situtation, wenn wir die Fläche als eine Funktion z =
f(x, y) darstellen können. Diese Bildfläche lässt sich in vektorieller Form mit den kartesischen
Koordinaten x und y als Flächenparameter schreiben als:
⎛
⃗r = ⃗r(x, y) = ⎝
x ⎞
y ⎠ .
f(x, y)
Die Tangentenvektoren an die Parameterlinien sind dann
⎛
⃗t x = ∂⃗r
∂x = ⎝ 1 ⎞
⎛
0 ⎠ und ⃗t y = ∂⃗r
∂y = ⎝ 0 ⎞
1 ⎠ ,
f x f y
die Flächennormale ist
⎛
1
⃗N = √
⎝ −f ⎞
x
−f y
⎠ .
fx 2 + fy 2 + 1 1
§ 1455 Für das Flächenelement ergibt sich damit
√
dA = fx 2 + fy 2 + 1 dx dy .
Die Tangentialebene im Flächenpunkt P = ⃗r 0 ist dann in vektorieller Form gegeben als
⃗N 0 · (⃗r − ⃗r 0 ) = 0 oder (⃗t x × ⃗t y ) 0 · (⃗r − ⃗r 0 ) = 0 ,
bzw. in expliziter Form
z = f x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) + z 0 .
10.3.2 Linienintegral
§ 1456 In der Physik ist die Arbeit definiert als
W =
∫ s 2
s 1
dW =
∫ s 2
s 1
⃗ F (s) · d⃗s ,
d.h. wir müssen das Integral entlang eines Weges ⃗s bilden, das Linien- oder Kurvenintegral.
§ 1457 Mit Hilfe der Betrachtungen aus Abschn. 10.3.1 können wir das Linienintegral wie
folgt definieren:
Definition 89 ⃗ F (x, y, z) sei ein räumliches Vektorfeld, ⃗r = ⃗r(t) der Ortsvektor einer von
P 1 nach P 2 verlaufenden Raumkurve C mit t 1 ≤ t ≤ t 2 und ˙⃗r = ˙⃗r(t) der zugehörige Tangentenvektor
der Kurve. Dann heißt das Integral
∫
C
⃗F · d⃗r =
∫ t 2
t 1
⃗ F (⃗r(t)) · d⃗r(t)
dt
dt =
∫ t 2
t 1
⃗ F (⃗r(t)) · ˙⃗r(t) dt
das Linien- oder Kurvenintegral des Vektorfeldes ⃗ F längs der Raumkurve C.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007