Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

12.4. FEHLERRECHNUNG (DESKRIPTIVE STATISTIK) 469
Tabelle 12.4: Transformationen, die einen nichtlinearen Ansatz für eine Ausgleichskurve auf
ein lineares Ausgleichsproblem zurückführen.
Ansatz Transformation Rücktransformation
u = v =
y = a · x b ln x ln y a = e d b = c
y = a · e bx x ln y a = e d b = c
y = a x + b 1/x y a = c b = d
y = a/(b + x) x 1/y a = 1/c b = d/c
y = ax/(b + x) 1/x 1/y a = 1/d b = c/d
Abbildung 12.13: Messwert‘ und
’
Anpassung zu Bsp. 1762, links
im linearen Massstab, rechts zur
Durchführung der linearen Regression
als √ y
verschiedenen Zeitpunkten. Der Zusammenhang ist nicht linear, in einer graphischen Auswertung
ist eine lineare Darstellung nicht sinnvoll, stattdessen bietet sich eine halblogarithmische
Darstellung an. In dieser passen wir wieder eine Grade an die Daten an, wie man
durch logarithmieren des Zerfallsgesetz erkennt:
lnN(t) = − t τ + lnN 0 ,
mit dem Kehrwert 1/τ der Zerfallskonstanten als Steigung und der Zahl N 0 als Achsenabschnitt.
Damit erhalten wir einen linearen Zusammenhang und können das oben beschriebene
Schema der linearen Regression verwenden. Für die Linearisierung geeignete Ansätze und ihre
Transformationen auf einen Ansatz der Form v = cu + d sind in Tabelle 12.4 gegeben.
§ 1762 Eine Messung hat die die folgenden Datenpunkte ergeben:
x i 0 1 2 3 4 5
y i 0.1 1.9 8.1 17.9 32.1 49.9
Ein Blick auf die Tabelle zeigt, dass die Daten sich nicht durch eine Gerade anpassen lassen.
Umgekehrt ist aber auch offensichtlich, dass eine Korrelation vorliegt, da mit zunehmendem
x die y-Werte ebenfalls zunehmen, die Funktion also monoton ist. Graphisches Auftragen
legt einen quadratischen Zusammenhang nahe. Um mit dieser Hypothese eine Anpassung an
die Messwerte zu versuchen, transformieren wir sie und erhalten
x i 0 1 2 3 4 5
√
y1 0.03 1.38 2.84 4.23 5.67 7.06
Damit erhalten wir für die Mittelwerte und ihre Standardabweichungen x = 3.53, y = 2.50
sowie σ x = 2.64 und σ y = 1.87 sowie für die Kovarianz σ xy = 4.84. Für die Steigung der
Ausgleichsgeraden ergibt sich a = 1.4 mit einer Varianz σ a = 0.0003; für den Achsenabschnitt
ergibt sich b = 0.01 mit einer Varianz σ b = 0.0002. Der Korrelationskoeffizient beträgt
r = 0.98. Rücktransformation auf die Originaldaten liefert eine Parabel der Form y = ax 2 +b
mit a = 1.98 und b = 0.01, vgl. Abb. 12.13.
Lineare Regression unter Berücksichtigung der Messfehler
§ 1763 Die Berücksichtigung der Fehler bei der linearen Regression ist besonders dann wichtig,
wenn einige Messwerte sehr große relative Fehler haben und daher bei der Minimierung
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007