Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

3.7. MATLAB: DARSTELLUNG VON FUNKTIONEN II 119
Aufgabe 45 Gegeben ist die Funktion
y = x sin 1 x .
Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion für x = 0. Stellen Sie die Funktion graphisch
dar.
Aufgabe 46 Bestimmen Sie, jeweils für x → 0, die Grenzwerte der folgenden Funktionen:
a(x) = x e −x , b(x) = x n e −x , c(x) = ln x
ln x
, d(x) =
xα sin(πx) ,
e(x) =
sin 8x
x
Aufgabe 47 Bestimmen Sie
lim
x→0
sin 2 ax
1 − cos x .
, f(x) = sin √ x , g(x) = sin2 x
x x 2 , h(x) = sin(2x)
sin x .
Aufgabe 48 Skizzieren Sie die folgenden Funktionen (analog zum Verfahren in Abb. 3.21!)
f(x, y) = x 4 + y 4 ,
g(x, y) = sin(x/2) cos(y) ,
h(x, y) = (x/5) 3 y
i(x, y) = e −x/5 sin(y/2) cos(x) .
Aufgaben mit physikalischem Bezug
Aufgabe 49 Skizzieren Sie die folgenden in Parameterform gegebenen Funktionen:
(a) Epizykloide (Kurve, die von einem Perepheriepunkt eines Kreises mit Radius a beschrieben
wird, wenn dieser auf der Außenseite eines anderen Kreises mit Radius A abrollt):
x = (A + a) cos ϕ − a cos[(A + a)ϕ/a] und y = (A + a) sin ϕ − a sin[(A + a)ϕ/a],
(b) Kardioide (Spezialfall der Epizykloide für A = a): x = 2a cos ϕ − a cos 2ϕ und y =
2a sin ϕ − a sin 2ϕ,
(c) x = √ t, y = √ t + 1 mit t ≥ 0,
(d) Astroide (Kurve, die von einem Perepheriepunkt eines Kreises beschrieben wird, wenn
dieser auf der Innenseite eines anderen Kreises abrollt): x = cos 3 ϕ, y = sin 3 ϕ,
(e) Zykloide bzw. Trochoide (Kurve, die von einem Punkt beschrieben wird, der außerhalb
(λ > 0) oder innerhalb (λ < 0) eines Kreises auf einem vom Kreismittelpunkt ausgehendem
und mit dem Kreis fest verbundenen Strahl befindet, während der Kreis, ohne zu gleiten, auf
einer Graden abrollt): x = a(t − λ sin t) und y = a(1 − λ sin t),
(f) Pascal’sche Schnecke: x = a cos 2 ϕ + l cos ϕ und y = a cos ϕ sin ϕ + l sin ϕ,
(g) Evolvente (Kurve, die am Endpunkt eines fest gespannten Fadens beschrieben wird, wenn
dieser von einem Kreis abgewickelt wird): x = a cos ϕ + aϕ sin ϕ und y = a sin ϕ − aϕ cos ϕ,
(h) x = arcsin t, y = t 2 mit −1 < t < 1.
Aufgabe 50 Skizzieren Sie die folgenden in Polarkoordinaten dargestellten Funktionen:
(a) Logarithmische Spirale: (Spirale, die alle vom Ursprung ausgehenden Graden unter dem
gleichen Winkel α schneidet) r = ae kϕ mit k = cotα,
(b) Archimedische Spirale (Kurve, die durch die Bewegung eines Punktes mit konstanter
Geschwindigkeit v auf einem Strahl entsteht, der mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω
um den Ursprung kreist): r = aϕ mit a = v/ω > 0,
(c) Hyperbolische Spirale: r = a/ϕ,
(d) Lemniskate (liegende Acht): r = a √ 2 cos 2ϕ,
(e) r = e ϕ sin ϕ,
(f) Freeth’s Nephroid: r = a(1 + 2 sin(ϕ/2)).
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007