Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

384 KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
Abbildung 10.7: Parametrisierung
eines halbkreisförmigen
Pfades
mit t ≥ 0. Wir stellen also den Ort ⃗r des Körpers nicht in Abhängigkeit von den räumlichen
Koordinaten x und y dar sondern in Abhängigkeit von einem einzigen Parameter, der Zeit t.
Wenn wir bei dieser anschaulichen Vorstellung bleiben, können wir den vom Körper entlang
seiner Flugbahn zurückgelegten Weg s beschreiben als Bogenlänge s = ∫ v(t) dt.
Die Bogenlänge
§ 1440 In der vektoriellen Darstellung können wir mit Hilfe der Integration
⃗r(t) =
∫ t
t 0
⃗v dt
den Ort eines Körpers zur Zeit t bestimmen. Den vom Körper im Zeitintervall von t 0 bis t
zurück gelegten Weg erhalten wir jedoch nicht als den Ausdruck ⃗r(t) − ⃗r(t 0 ); diese Differenz
liefert nur den Abstand zwischen den beiden Orten, nicht jedoch den dazwischen zurück
gelegten Weg. So erreicht ein Läufer nach jeder Runde um den Sportplatz wieder seinen
Ausgangsort ⃗r(t 0 ), so dass obige Differenz verschwindet: er wird allerdings energisch gegen
die Unterstellung protestieren, dass er dabei keinen Weg zurück gelegt hätte.
§ 1441 Dieser entlang der Bahn zurück gelegte Weg ist die Bogenlänge, definiert als
Definition 88 Die Bogenlänge s ist die Länge der Raumkurve, gemessen entlang der gekrümmten
Kurve:
s =
∫ t 2
t 1
∣ ∫t 2
∣∣∣ d⃗r
dt ∣ dt = |˙⃗r| dt . (10.13)
t 1
§ 1442 Zur Bestimmung der Bogenlänge ist also wieder die geeignete Parametrisierung des
Weges erforderlich. Das ist auch das einzige Problem bei der Bestimmung des Linienintegrals.
Ein Beispiel für eine Parametrisierung in kartesischen Koordinaten haben wir bereits in § 716
kennen gelernt.
§ 1443 Den Weg entlang eines Kreises (oder des Teils eines Kreises) parametrisieren wir am
besten in Polarkoordinaten. Betrachten wir als Beispiel eine Bewegung von ⃗r 1 = (R, 0) nach
⃗r 2 = (−R, 0) entlang eines Halbkreises, siehe auch Abb. 10.7. Die Bewegung lässt sich am
einfachsten in Polarkoordinaten darstellen. Da es sich um eine kreisförmige Bahn handelt,
ist der radiale Abstand konstant und durch den Radius R des Kreises gegeben. Den Ort
eines Körpers zu jedem beliebigen Zeitpunkt t können wir durch die Angabe des Winkels ϕ
eindeutig bestimmen, d.h. der Winkel ϕ ist zur Parametrisierung dieser Bewegung geeignet.
Für den betrachteten Halbkreis läuft der Winkel im Bereich 0 ≤ ϕ ≤ π. Zur Bestimmung
der Bogenlänge müssen wir nun den Ort ⃗r(ϕ) in Abhängigkeit von diesem Parameter, d.h.
in Polarkoordinaten ausdrücken, dann die Ableitung ˙⃗r bilden und dann in (10.13) einsetzen:
⃗r =
( )
R cos ϕ
R sin ϕ
⇒
( )
−R sin ϕ
˙⃗r =
R cos ϕ
Das Ergebnis entspricht unseren Erwartungen.
⇒ s =
∫ π
ϕ=0
R dϕ = πR .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode