Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

Kapitel 6
Komplexe Zahlen
Not Art and Science serve alone,
patience in the work must be shown.
A quiet spirit plods and plods at length;
Nothing but time can give the brew its strength.
And all, belonging thereunto,
Is rare and strange, howe’ er you take it.
The Devil taught the thing, ’t is true,
And yet the Devil cannot make it.
J.W. von Goethe, Faust
§ 764 Komplexe Zahlen sind für den Physiker ein einfaches Hilfsmittel zur Darstellung von
Wechselgrößen. Sie helfen bei der Beschreibung mechanischen Schwingungen (Abschn. 7.5)
und Wellen (Abschn. 11.3) ebenso wie im Wechselstromkreis. Aus mathematischer Sicht
sind die komplexen Zahlen als Erweiterung des Zahlenraumes von Interesse – die Motivation
startet in diesem Punkt.
§ 765 Kaum ein Begriff in der Mathematik ist so ungünstig gewählt wie der der ‘komplexen
Zahl’. Ironischerweise werden viele Probleme in Mathematik und Physik wesentlich vereinfacht,
wenn man sie mit komplexen Zahlen statt reeller behandelt. Die Abschnitte 6.3.3 und
6.3.4 sollen Ihnen einen ersten Eindruck davon vermitteln.
§ 766 Qualifikationsziele: nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollen Sie in der Lage sein
• komplexe Zahlen in verschiedenen Formen darzustellen,
• die Euler Formel zu kennen, anzuwenden und ihre Herleitung zu skizzieren,
• die Eigenschaften eines mathematischen Körpers zu beschreiben und am Beispiel der komplexen
Zahlen die sich daraus ergebenden Rechenregeln aufzulisten,
• sich mit dem Gedanken angefreundet haben, dass die Komponenten von Vektoren ebenso
komplexe Zahlen sein können wie die Argumente von Funktionen oder die Elemente von
Matrizen.
6.1 Motivation
§ 767 Die ersten Zahlen haben nur dem Zählen gedient. Daher war die Beschränkung auf die
Menge N natürlichen Zahlen ausreichend – eine Null war in diesem Konzept nicht erforderlich,
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