Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

338 KAPITEL 8. MATRIZEN
Lorentz Transformation
§ 1271 Transformationen lassen sich nicht nur für den konventionellen dreidimensionalen
Raum mit Hilfe von Matrizen beschreiben sondern auch für verallgemeinerte Räume. Auch
die Lorentz Transformation der speziellen Relativitätstheorie lässt sich mit einer Matrix
beschreiben. Betrachten wir zwei Koordinatensysteme K und K’, deren Ursprung zur Zeit
t = 0 zusammen fällt und von denen sich K’ parallel zur z-Achse mit der Geschwindigkeit
v bewegt. Die Grundannahme der speziellen Relativitätstheorie ist die Unabhängigkeit der
Lichtgeschwindigkeit vom Bezugssystem, d.h. für eine sich mit der Lichtgeschwindigkeit c
ausbreitende Kugelwelle, die zur Zeit t = 0 im Ursprung startet, gilt:
x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − c 2 t 2 = x ′2
1 + x ′2
2 + x ′2
3 − c 2 t ′2 ,
da die Front der Welle in K gegeben ist als x 2 1+x 2 2+x 2 3 = c 2 t 2 , in K’ jedoch als x ′2
1 +x ′2
2 −x ′2
3 =
c 2 t ′2 . Betrachtet man −c 2 t 2 = x 2 4 als vierte Koordinate, so lässt sich diese Gleichung schreiben
als eine orthogonale Transformation der Form
4∑ 4∑
x 2 n =
n=0
n=0
x ′2 n
im vierdimensionalen Minokwski Raum. Der Ortsvektor in diesem Raum ist
⎛ ⎞
x 1
x 2
⎜ ⎟
⃗r M = ⎝ ⎠ .
x 3
ict
§ 1272 Mit den obigen Koordinatensystemen ergibt sich für die Transformation x 1 = x ′ 1
und x 2 = x ′ 2, d.h. die Transformationsmatrix muss wegen
x ′ i =
4∑
a ik x k
k=1
die folgende Gestalt haben:
⎛
⎞
1 0 0 0
⎜ 0 1 0 0 ⎟
A = ⎝
⎠ .
0 0 a 33 a 34
0 0 a 43 a 44
Aus der Orthogonalitätsrelation lassen sich die übrigen Komponenten der Matrix bestimmen,
so dass wir für die Lorentz-Transformation die folgende Transformationsmatrix erhalten (vgl.
Aufg. 170):
⎛
⎞
1 0 0 0
0 1 0 0
A = ⎜
1 iβ
⎝ 0 0
γ γ
0 0 − iβ 1
γ γ
⎟
⎠ mit β = v c
und γ = √ 1 − β 2 . (8.26)
Formal hat die Untermatrix die Form einer Drehmatrix für eine Drehung in der x 3 x 4 -Ebene,
allerdings ist der Drehwinkel wegen 1/γ > 1 imaginär.
§ 1273 Wir können die Transformationsmatrix (8.26) auf Plausibilität überprüfen. Komponentenweise
erhalten wir für die Transformationsgleichungen die bekannten Gleichungen
x ′ = x , y ′ = y , z ′ = z − vt
γ
und
t ′ = t − βz/c
γ
§ 1274 Die Rücktransformation ergibt sich als die inverse Matrix von (8.26). Wie aus physikalischer
Sicht zu erwarten, unterscheidet sich A T von A nur durch das Vorzeichen von v.
Zwischenrechnung 53 Zeigen Sie diesen offensichtlichen Zusammenhang explizit.
.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode