Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

450 KAPITEL 12. STATISTIK
Abbildung 12.6: Poisson-Verteilung für
µ = 1 und µ = 3
Die Poisson-Verteilung lässt sich aus der Binominalverteilung für den Grenzübergang n → ∞
und p → 0 herleiten. Für praktische Anwendungen kann man ab p < 0.08 und n > 1500 p
die Poisson-Verteilung durch eine Normalverteilung ersetzen. Wird eine Poisson-Verteilung
benötigt, so lässt sich diese gemäß der Rekursionsformel
( ) x + 1
f
µ
bestimmen.
= µ
x + 1 f ( x
µ
)
§ 1679 Der bestimmende Parameter der Poisson-Verteilung ist der Mittelwert
µ = pn .
Die weiteren Kenngrößen der Verteilung hängen nur vom Mittelwert µ ab. So ist die Varianz
σ 2 = µ ,
und damit die Standardabweichung
σ = √ µ .
§ 1680 Wie die Binominal-Verteilung ist die Poisson-Verteilung eine diskrete Verteilung, da
sie auf der Idee der Mehrfachausführung eines Zufallsexperiments beruht. Abbildung 12.6
zeigt Poisson-Verteilungen für zwei verschiedene Mittelwerte µ = np von 1 und 3. Für kleine
µ ist die Verteilung asymmetrisch, mit zunehmendem µ wird sie immer symmetrischer und
lässt sich für große µ durch eine Gauß- oder Normal-Verteilung annähern.
§ 1681 Ein α-Strahler emittiert Teilchen mit einer Rate von 1 pro Minute. In einem Messintervall
von 5 min erwarten wir µ = pn = 5 Teilchen. Die Wahrscheinlichkeit, in diesem
Intervall eine Zahl n von Teilchen zu beobachten, ist gemäß (12.9)
n 0 1 2 3 4 5 6 7
P (n) 0.0067 0.0337 0.0842 0.1404 0.1755 0.1755 0.1462 0.1044
Die Wahrscheinlichkeit, mehr als 7 Teilchen zu beobachten, ist
7∑
P (N ≥ 8) = 1 − P (n) = 0.1334 . (12.10)
n=0
§ 1682 In einer Produktion beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein gefertigtes Bauteil den
Anforderungen nicht genügt, p = 10 −4 . Die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass
alle 1500 zufällig ausgewählten Bauteile die Qualitätsanforderungen erfüllen, lässt sich mit
Hilfe der Binominalverteilung beantworten. Aufgrund der kleinen Wahrscheinlichkeit und der
großen Zahl ist eine Annäherung durch eine Poisson-Verteilung mit Mittelwert µ = np = 0.15
ausreichend:
P (X = x) = f(x) = 0.15x
x!
e −0.15 .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode