Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

5.3. MEHRFACHINTEGRALE 179
besagt, dass zwischen dem Trägheitsmoment I b um eine beliebige Achse und dem Trägheitsmoment
I S um eine dazu parallele Achse durch den Schwerpunkt der Zusammenhang
I b = I S + mrb 2 besteht mit r b als dem Abstand der beiden Achsen. In diesem Fall ist
I b = 1
12 m(a2 + b 2 ) + 1 4 m(a2 + b 2 ) = 1 3 m(a2 + b 2 )
wie in (5.6) durch Integration bestimmt.
Zwischenrechnung 23 Leiten Sie den Steiner’schen Satz her.
Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten.
§ 694 Zylinderkoordinaten stellen die xy-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems in
Polarkoordinaten dar während die z-Achse beibehalten wird. Die Behandlung erfolgt analog
zu der in Polarkoordinaten: beim Übergang von kartesischen Koordinaten (x, y, z) zu
Zylinderkoordinaten ϱ, ϕ, z gelten die Transformationsgleichungen
x = ϱ cos ϕ , y = ϱ sin ϕ , z = z und dV = ϱ dz dϱ dϕ .
Das Dreifachintegral transformiert sich gemäß
∫
∫ ∫ ∫
f(x, y, z) dV = f(ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ, z) ϱ dz dϱ dϕ .
V
ϕ ϱ z
Die Integration erfolgt wieder von innen nach außen bzw. entsprechend der Abhängigkeiten
der Integrationsgrenzen von den anderen Variablen.
§ 695 Als einfachstes Beispiel betrachten wir die Volumenbestimmung – und zwar, wie sollte
es in Zylinderkoordinaten auch anders sein, für einen Zylinder mit Radius R und Höhe H.
Das Volumen ist das Integral V = ∫ dV über alle Volumenelemente dV :
V =
∫ R
∫ H
∫2π
ϱ=0 h=0 ϕ=0
ϱdϕ dh dϱ =
∫ R
∫ H
ϱ=0 h=0
2πϱ dh dϱ =
∫ R
ϱ=0
2πHϱdϱ = πR 2 H .
§ 696 Das Trägheitsmoment des Zylinders bei Drehung um die Zylinderachse bestimmt sich
ähnlich, jedoch haben wir dabei gemäß (5.5) die Massendichte ρ als zusätzlichen Vorfaktor
vor dem Integral und den Abstand ϱ 2 von der Drehachse als zusätzlichen Faktor im Integral:
I = ρ
∫ R
∫ H
∫2π
ϱ=0 h=0 ϕ=0
ϱ 3 dϕ dh dϱ = ρ
∫ R
∫ H
ϱ=0 h=0
2πϱ 3 dh dϱ = ρ
∫ R
ϱ=0
2πHϱ 3 dϱ = ρ 2 4 πHR4 .
Ersetzen der Massendichte ρ durch ρ = m/V liefert für das Trägheitsmoment des Zylinders
I = 1 2 mR2 .
§ 697 Zylinder liefern in Zylinderkoordinaten konstante Integrationsgrenzen, d.h. es hängt
nicht die Integrationsgrenze in einer Variablen von einer anderen Variablen ab. Aber auch hier
gibt es Geometrien, die zwar in Zylinderkoordianten besser beschrieben werden können als
in kartesischen Koordinaten, aber dennoch zu der Abhängigkeit einer Integrationsgrenze von
einer anderen Variablen führen können. Betrachten wir dazu das Volumen eines Kreiskegels
mit Radius R der Grundfläche und Höhe H. Es lässt sich ebenfalls in Zylinderkoordinaten
bestimmen; im Gegensatz zum Zylinder hängt hier jedoch ϱ von z ab, ϱ(z) = R(H − z)/H:
V =
∫2π
∫ H
∫
R(H−z)/H
ϕ=0 z=0 ϱ=0
∫2π
∫ H
= 1 2
= π
ϕ=0 z=0
(
R − Rz
H
ϱ dz dϱ dϕ =
[
R 2 H − R 2 H + 1 3 R2 H
∫2π
∫ H
ϕ=0 z=0
2π
) 2
dz dϕ = 1 ∫
2
ϕ=0
]
= 1 3 πR2 H .
[ ϱ
2
2
] R(H−z)/H
0
dz dϕ
[R 2 z − 2R2 z 2
2H + R2 z 3
3H 2 ] H
0
dϕ
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007