Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

Kapitel 11
Partielle Differentialgleichungen
The scientific version of truth is based on the workability of
the theory in practice and its ability to predict accurately
within the limits of interest. According to this view, truth
exists in the process by which theory is confirmed. This is
in distinct contrast to truth in the absolute sense, which
antedates its own verification.
T.H. Siu
§ 1501 Partielle Differentialgleichungen sind Bestimmungsgleichungen für stationäre oder
zeitlich veränderliche Felder bzw. Funktionen mehrerer Variabler. Sie unterschieden sich von
gewöhnlichen Differentialgleichungen dadurch, dass sie statt der gewöhnlichen Ableitung einer
Funktion die partiellen Ableitungen eines Feldes nach den räumlichen Variablen und gegebenenfalls
der Zeit enthalten. Wichtige partielle Differentialgleichungen sind die Laplace- und
die Poisson-Gleichung, die jeweils stationäre Felder beschreiben, die Wärmeleitungs- und Diffusionsgleichung,
die die langsame Entwicklung eines Temperatur- oder Konzentrationsfeldes
charakterisieren, und Wellengleichungen, die schnelle zeitliche Veränderungen beschreiben.
§ 1502 Wichtigstes Handwerkszeug ist der Separationsansatz mit dem eine partielle Differentialgleichung
auf mehrere gewöhnliche DGLs zurück geführt werden kann.
§ 1503 Qualifikationsziele: nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollen Sie in der Lage sein
• verschiedenen Typen von partiellen Differentialgleichungen und die durch sie beschriebenen
physikalischen Probleme zu identifizieren,
• Standardlösungsverfahren partieller DGLs durchzuführen, insbesondere den Separationsansatz,
• das Konzept der Green’schen Funktion und des Poisson Integrals zu beschreiben und auf
elementare Ladungskonfigurationen anzuwenden.
11.1 Motivation
§ 1504 In Kapitel 7 haben wir gesehen, dass gewöhnliche Differentialgleichungen bei der Beschreibung
physikalischer Sachverhalte auf natürliche Weise entstehen, z.B. aus dem zweiten
Newton’schen Axiom. Gewöhnliche DGLs beschreiben Funktionen in Abhängigkeit von einer
Variablen, z.B. x(t).
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