Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

380 KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
Abbildung 10.5: Ein Hurrikan ist offensichtlich
nicht wirbelfrei
• für ein konstantes Feld ⃗ A = ⃗c = const gilt
∇ × ⃗c = 0 .
• Summenregel:
rot( ⃗ A + ⃗ B) = ∇ × ( ⃗ A + ⃗ B) = ∇ × ⃗ A + ∇ × ⃗ B ,
bzw. für den Spezialfall, dass eines der Felder konstant ist:
• Faktorregel:
rot( ⃗ A + ⃗c) = ∇ × ( ⃗ A + ⃗c) = ∇ × ⃗ A + ∇ × ⃗c = ∇ × ⃗ A .
∇ × (α ⃗ A) = α ∇ × ⃗ A .
• Produktregel für das Produkt aus einem Skalar- und einem Vektorfeld:
∇ × (A ⃗ B) = A ∇ × ⃗ B + ∇A × ⃗ B = A rot ⃗ B + grad A × ⃗ B .
10.2.4 Rotation anschaulich
§ 1425 Eine nicht verschwindende Rotation kann zwei Ursachen haben: eine starre Rotation
(rotierende Schallplatte) oder Scherungen. Das einfachste Beispiel für ersteres ist ein Wirbel
in einer Flüssigkeit, z.B. der Wirbel am Abfluss einer Badewanne oder ein Tiefdruckgebiet
in der Atmosphäre, vgl.Ãbb. 10.5. Aufgrund der großen Bedeutung dieser Wirbel für das
Wetter hat man zu ihrer Beschreibung einen speziellen Begriff eingeführt, die Vorticity
⃗ζ = ∇ × ⃗v ,
wobei nur die z-Komponente betrachtet wird, da aufgrund der geringen vertikalen Ausdehnung
im Vergleich zur horizontalen die Wirbel in der Atmosphäre als zweidimensionale Gebilde
aufgefasst werden können.
§ 1426 Betrachten wir als Anwendung für die krummlinigen Koordinaten und als Erinnerung
an die anschauliche Interpretation nochmals wie in § 1419 einen Wirbel, der mit der
Winkelgeschwindigkeit ⃗ω um die z-Achse rotiert, d.h. wir betrachten eine starre Rotation
wie bei einer Schallplatte. Da alle Volumenelemente unabhängig von ihrem Abstand von der
Rotationsachse die gleiche Zeit für eine Rotation benötigen, kann das Geschwindigkeitsfeld
in der Form v(ϱ) = ωϱ geschrieben werden. Da die Rotation in ϕ-Richtung erfolgt, können
wir statt der skalaren Darstellung auch eine vektorielle verwenden: ⃗v = ωϱ⃗e ϕ , d.h. in Zylinderkoordinaten
hat die Geschwindigkeit nur eine ϕ-Komponente, die nur vom Abstand ϱ von
der Drehachse abhängt. Mit (10.11) ergibt sich für die Vorticity
⃗ζ = ∇ × ⃗v = 1 ϱ
∂(ϱv ϕ )
⃗e z = 1 ∂ωϱ 2
∂ϱ ϱ ∂ϱ ⃗e z = 1 ϱ 2ωϱ⃗e z = 2⃗ω .
Die Vorticity ist also ein Vektor parallel zu dem der Winkelgeschwindigkeit aber mit doppelter
Länge. Damit ist auch der Begriff der Rotation für die Größe ∇ × ⃗v anschaulich erklärbar.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode