Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

90 KAPITEL 3. FUNKTIONEN
Jede Komponente des Vektors besteht aus einer Summe; nach den Regeln der Vektorrechnung
können wir diese z.B. zerlegen in
( ) ( ) ( )
0 v0,x t x0
⃗r(t) =
−gt 2 + + = −⃗gt 2 + ⃗v
v 0,y t y 0 t + ⃗r 0 .
0
Der letzte Ausdruck gibt das allgemeine Weg–Zeit-Gesetz in vektorieller Form.
§ 359 Dieser komprimierte Ausdruck ⃗r(t) = −⃗gt 2 +⃗v 0 t+⃗r 0 unterscheidet sich in seiner Struktur,
abgesehen von den Vektorpfeilen, nicht von der skalaren Version des Weg–Zeit-Gesetzes.
Diese formale Änhlichkeit legt den Versuch einer Definition vektorwertiger Funktionen in
Anlehnung an Def. 24 nahe, nach der jedem Element des Definitionsbereichs ein Element des
Wertebereichs zugeordnet wird.
§ 360 Aber wie übertragen sich die Grundbegriffe wie Grenzwert, Monotonie, Stetigkeit,
Beschränktheit oder Konvergenz von skalaren Funktionen auf vektorwertige? Wir können
diese Begriffe auf jede einzelne Komponente de Vektors ohne Probleme übertragen, da ja jede
Komponenten nur eine normale reelle (oder gegebenenfalls komplexe) Funktion darstellt.
In der Vektoranalysis in Kap. 10 werden wir uns genauer mit vektorwertigen Funktionen
beschäftigen. Von den mathematischen Konzepten ist im wesentlichen die Übertragung der
Begriffe Stetigkeit und Grenzwert auf vektorwertige Funktionen wichtig, da diese für die Differenzierbarkeit
von Bedeutung sind. Diese Übertragung erfolgt ebenfalls komponentenweise,
d.h. wir können als Gebrauchsdefinitionen festhalten:
• eine vektorwertige Funktion ⃗r(t) hat an der Stelle t 0 einen Grenzwert ⃗g, wenn alle Komponenten
an dieser Stelle einen Grenzwert haben:
lim ⃗r(t) → ⃗g ⇔ ∀i : lim r i (t) → g i .
t→t 0 t→t0
• eine vektorwertige Funktion ⃗r(t) ist stetig in t 0 wenn alle Komponenten an dieser Stelle
stetig sind.
3.3 Wichtige Funktionen in der Physik
§ 361 Die wichtigsten mathematischen Funktionen in der Physik sind die Exponentialfunktion
sowie ihre Umkehrung, der natürliche Logarithmus, die trigonometrischen Funktionen
sowie die hyperbolischen Funktionen. Alle diese Funktionen sind transzendente Funktionen,
d.h. sie lassen sich nicht als endliche Kombination algebraischer Terme darstellen. Allerdings
lassen sich die Funktionen durch unendliche Reihen darstellen, wie in Abschn. 2.4 gezeigt.
3.3.1 Exponentialfunktion und Logarithmus
§ 362 Eine Möglichkeit der mathematischen Einführung dieser beiden Funktionen startet
von der Definition des natürlichen Logarithmus ln(x) als bestimmtes Integral der Funktion
x −1 (vgl. Abschn. 3.4.1):
ln(x) =
∫ x
1
1
u du .
Die Exponentialfunktion wird dann als Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus definiert.
§ 363 In diesem Abschnitt wird ein einfacherer Ansatz vorgestellt, der von einer allgemeinen
Form der Exponentialfunktion ausgeht und die gebräuchliche Exponentialfunktion e x nur als
Speziallfall hierzu betrachtet. In der allgemeinen Exponentialfunktion
f(x) = a x
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode