Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

520 ANHANG C. ERSTE HILFE
Abbildung C.2: Anmerkungen
zur Kurvendiskussion
natürliche Logarithmus ln. Die Regel für due Multiplikation von Potenzen lässt sich für diese
Basis schreiben als
e x · e y = e x+y .
Nehmen wir den natürlichen Logarithmus von diesem Ausdruck:
ln(e x · e y ) = ln(e x+y ) .
Auf der rechten Seite wird die Umkehrfunktion auf die Funktion angewandt, d.h. es bleiben
nur x + y übrig:
ln(e x · e y ) = x + y .
(C.2)
Auf der linken Seite lässt sich dieser Ausdruck dann erreichen, wenn wir eine Regel der Form
ln(a · b) = ln(a) + ln(b)
annehmen, wie in der obersten Zeile von Tab. C.2 gegeben. Wenden wir die Regel probeweise
auf die linke Seite an, so erhalten wir
ln(e x · e y ) = ln(e x ) + ln(e y ) .
Damit haben wir den Ausdruck der linken Seite auf eine Summe reduziert, in der jeweils die
Umkehrfunktion einer Funktion steht. Diese heben sich auf, so dass wir erhalten
ln(e x ) + ln(e y ) = x + y ,
so dass (C.2) erfüllt ist.
C.2 Elementares Differenzieren
§ 1866 Differenzieren ist gleich bedeutend mit ableiten oder die Ableitung einer Funktion
bestimmen.
C.2.1
Wozu?
§ 1867 Differenzieren ist ein wichtiges Hilfsmittel bei der Kurvendiskussion, d.h. bei der
Bestimmung der wesentlichen Merkmale einer Funktion:
• Nullstellen sind die Werte von x, für die f(x) = 0 gilt, d.h. bei Stellen, an denen der
Funktionsgraph die x-Achse schneidet, vgl. Abb. C.2.
• die erste Ableitung f ′ (x) der Funktion f(x) liefert für jeden Punkt x die Steigung in diesem
Punkt.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode