Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

356 KAPITEL 9. VERALLGEMEINERTE FUNKTIONEN
Abbildung 9.1: Annäherung der δ Funktion
an der Stelle x 0 = 0 durch zwei verschiedene
Funktionen für n = 5, 10, 20
d.h. für n → ∞ erhalten wir, wie in (9.1) für die δ-Funktion gefordert,
lim
∫ ∞
n→∞
−∞
g n (x − x 0 ) f(x) dx = f(x 0 ) .
§ 1328 Alternativ zur Kastenfunktion gibt es eine Vielzahl anderer Funktionen, deren Grenzwert
ebenfalls die Delta Funktion ist. Beispiele sind die Gauß Verteilung (vgl. Abschn. 12.2.5)
oder Funktionen (jeweils für n → ∞) wie
g n (x) = n e −πn2 x 2 , g n (x) = 1 π
(
g n (x) = n sin nx
) 2
π nx , gn (x) = 1 π
n
1+n 2 x 2 ,
sin nx
x
= 1
2π
+n ∫
−n
e ikx dk ,
(9.2)
vgl. Abb. 9.1. Alle diese Funktionen haben die bereits für die Kastenfunktion im Detail
betrachteten Eigenschaften:
• sie sind normiert (sonst würde nicht f(x 0 ) ausgewählt, sondern ein veränderter Wert);
• sie sind gerade g n (x) = g n (−x) (dadurch treten bei der Integration keine Flächenstückchen
mit unterschiedlichen Vorzeichen auf, die sich aufheben könnten);
• sie gehen für n → ∞ gegen den Grenzwert
lim g n(x) =
n→∞
{ 0 x ≠ 0
∞ x = 0 . (9.3)
§ 1329 Diese Annäherungen wählen den Punkt x 0 = 0 aus, d.h. wir haben nicht Annäherungen
an δ(x − x 0 ) betrachtet sondern nur an δ(x). Das ist aber ausreichend: die allgemeine eindimensionale
δ Funktion erhalten wir ja gerade dadurch, dass wir δ(x) entlang der x-Achse
verschieben können, mathematisch ausgedrückt durch x → x − x 0 .
9.2.2 Eindimensionale Delta Funktion
§ 1330 Die δ Funktion unterscheidet sich von den anderen in diesem Kapitel vorgestellten
verallgemeinerten Funktionen dadurch, dass sie nicht für sich alleine definiert werden kann
(daher die fruchtlosen Versuchen in § 1323 und § 1324) sondern nur in Anwendung auf eine
Funktion f(x). Dies wird auch in der folgenden Definition deutlich:
Definition 84 Die δ Funktion δ(x − x 0 ) ist eine verallgemeinerte Funktion von x, die zusammen
mit einer stetigen Funktion f(x) wirkt wie
∫ ∞
−∞
f(x) δ(x − x 0 ) dx = f(x 0 ) (9.4)
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode