Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

554 ANHANG D. LÖSUNGEN ZU FRAGEN UND AUFGABEN
Aufgabe 298: Extremalbedingung: V = a 2 b = max; Nebenbedingung: 8a + 4b = 36 cm →
b = 9 cm − 2a; Zielfunktion: V (a) = a 2 (9 cm − 2a); Ergebnis: a = b = 3 cm, d.h. die Säule
ist ein Quader
Aufgabe 299: Strahlensatz: x = 6, y = 4
Aufgabe 300: Strahlensatz unter Verwendung der Höhe h: x = 4.5, y = 2.6
Aufgabe 301: Extremalbedingung: F = a · b = max; Nebenbedingung: 2a + 2b = 49 cm;
Zielfunktion: F (a) = (49/2 cm − a) · a; Ergebnis: a = b = 12.25 cm, maximaler Querschnitt
für Quadrat
√
Aufgabe 302: Pythagoras: r = s
2
3 = 9.8
Aufgabe 303: Extremalbedingung: U = 2a + 2b = min; Nebenbedingung: a · b = 10 cm 2 ;
Zielfunktion: U(a) = 2a + 20 cm 2 /a; Ergebnis: a = b = √ 10 cm, minimaler Umfang beim
Quadrat (ist die Umkehrung der Standardaufgabe, bei gegebenem Umfang die Fläche maximal
zu kriegen)
Aufgabe 312: x = 7.5, y = 15
Aufgabe 313: f ′ = 0.3x 2 − 1.2x − 1.5 , f ′′ = 0.6x − 1.2 , f ′′′ = 0.6
Aufgabe 314: y(0) = 1, y ′ = −1/(1 + x) 2 , y ′ (0) = −1, y ′ = −2 wird für x = −1 ± 1/ √ 2
angenommen, die Steigung y ′ = 1 wird an keiner Stelle angenommen. Schnittpunkt mit der
x-Achse bei 0.41.
Aufgabe 315: V = xyz, y + 2z = 50, x + 2z = 30; damit ergibt sich x = 19, y = 39, z = 5.5.
Aufgabe 316: Extremalbedingung: P = cb = max; Nebenbedingung: a = b+c; Zielfunktion:
P (c) = c(a−c); Ergebnis: c = b = a/2 (ist nur eine andere Formulierung für die Maximierung
einer Fläche bei gegebenem Umfang)
Aufgabe 317: Q = πr 2 /2 + 2rh, U = 2r + 2h + πr, damit gilt r = U/(2π + 4).
Aufgabe 318: Maximum: df/dx = −x/25 + 1 = 0 → x = 25, f(25) = 14.5
Aufgabe 319: Extremalbedingung: Z = c/b + b/c = min; Nebenbedingung: a = b + c;
Zielfunktion: Z(b) = (a − b)/b + b/(a − b)
Aufgabe 320: a = x + y, x/y + y/x = f ′ , f = x/(a − x) + (a − x)/x, x = a/2 Minimum.
Aufgabe 327: a = x + y, f = x m · (a − x) n ; x = ma/(m + n), y = a − ma/(n + m)
Aufgabe 328: (a) 1/t, (b) 5/3 ± √ 22/3, (c) ±1, (d) ±1
Aufgabe 329: F = x · x/2, also immer 2
Aufgabe 330: Es gibt keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.
Aufgabe 331:
(a) −1
x 3 + c , (b) − 2x−5/2 + c , (c) 1 4 (x + 3)4 + c
(d) 1 3 x3 + 1 2 (2 − a)x2 − 2ax + c ,
(e) 3 5 x5 − 2 3 x3 + 4 7 x + c
(l) 4 7
(f) 1 4 ax4 − 5 x − 2ax + c , (g) 2
n + 1 in+1 + 1 2 ni2 + c
(h) −3
2x 2 + 2 x + ln |x| + c , (i) − cos r + 1 4 sin r + c , (j) eν + νe 2ω + c
(k) u = 3 x , du = ln 3 · 3 x , dv = e x , v = e x ⇒
3x e x
1 + ln 3 + c
4√ 7
n
2 · x 4 + c , (m)
(1 + n) 2 xn+1 + c , (n) 2 2 , (o) − 1.099 , (p) e , (q) 2 , (r) 2.25
3
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode