Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

3.2. GRUNDLAGEN 85
3.2.3 Grundbegriffe
§ 334 Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen werden durch Funktionen beschrieben.
Häufig interessieren dabei nicht die Details der Funktion sondern ihr generelles Verhalten,
beschrieben durch Monotonie, Beschränktheit oder Konvergenz.
Beschränktheit
§ 335 Ein bereits von den Folgen bekannter Begriff ist der der Beschränkheit; die Definition
bei einer Funktion entspricht der für eine Folge (siehe Def. 17):
Definition 25 Eine Funktion y = f(x) mit x, y ∈ R ist
– nach oben beschränkt, wenn es ein A ∈ R gibt, so dass f(x) ≤ A ∀x ∈ R,
– nach unten beschränkt, wenn es ein A ∈ R gibt, so dass f(x) ≥ A ∀x ∈ R.
§ 336 Ist eine Funktion x(t), die eine Bewegung beschreibt, nach oben und unten beschränkt,
so bedeutet das, das sich der Körper nur im Bereich zwischen oberer und unterer Schranke
bewegt und diesen Bereich nie verlässt. Ist die Funktion nur nach oben oder unten beschränkt,
so gilt entsprechendes für die Bewegung: in eine Richtung kann der Körper sich bis ins Unendliche
bewegen, in der anderen jedoch maximal bis zur Schranke. Bei einer Schwingung z.B.
interessieren uns häufig nur die Schranken, d.h. die Grenzen, innerhalb derer die Bewegung
erfolgt. Zu jeder Zeit befindet sich der Körper zwischen diesen beiden Schranken – wo er sich
zu einem bestimmten Zeitpunkt genau befindet, interessiert häufig nicht.
Nullstellen
Definition 26 Eine Funktion f(x) besitzt an der Stelle x 0 eine Nullstelle, falls f(x 0 ) = 0.
§ 337 Nullstellen haben vielfältige Bedeutung. Bei der Beschreibung einer Bewegung bedeutet
eine Nullstelle in x(t) nur, dass der Körper sich wieder am Bezugspunkt x = 0 befindet.
Eine Nullstelle in v(t) dagegen bedeutet, dass der Körper zur Ruhe gekommen ist; findet an
dieser Nullstelle ein Vorzeichenwechsel statt, so hat sich die Bewegungsrichtung des Körpers
umgekehrt.
§ 338 Aus mathematischer Sicht sind insbesondere die Nullstellen der ersten Ableitung einer
Funktion von Interesse: sie geben an, dass die Funktion an dieser Stelle eine waagerechte
Tangente hat und damit entweder einen Extremwert oder einen Sattelpunkt.
Gerade und ungerade Funktionen
Definition 27 Eine Funktion f(x) mit symmetrischem Definitionsbereich D heißt gerade,
wenn für jedes x ∈ D gilt f(x) = f(−x); sie heißt ungerade, wenn für jedes x ∈ D gilt
f(x) = −f(−x).
§ 339 Eine gerade Funktion ist achsensymmetrisch, d.h. spiegelsymmetrisch zur y-Achse,
eine ungerade ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Bezeichnungen gerade und ungerade
lassen sich auf die Taylor Entwicklung zurück führen. Funktionen, die spiegelsymmetrisch
zur y-Achse sind, wie z.B. der Kosinus, benötigen zu ihrer Darstellung Potenzen von x,
die ebenfalls achsensymmetrisch sind. Das sind aber gerade die geraden Potenzen x 2n , wie
auch aus der Reihenentwicklung in (2.10) zu entnehmen ist. Der Sinus als ein Beispiel für
eine ungerade Funktion benötigt zu seiner Darstellung aber ebenfalls ungerade Funktionen,
d.h. Potenzen x 2n+1 . Die entspricht seiner Reihenentwicklung in (2.9). Umgekehrt wird uns
diese Unterscheidung auch bei der Fourier Reihe in Abschn. 7.7.5 nochmals begegnen: bei
der Darstellung von Funktionen als Summe aus Sinus- und Kosinus-Termen lassen sich grade
Funktionen alleine mit Hilfe der Sinus-Terme darstellen; ungerade Funktionen dagegen
werden ausschließlich mit Hilfe der Kosinus-Terme dargestellt.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007