Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

268 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
§ 1011 Exponentielles Wachstum wird ähnlich beschrieben wie das Entladen eines Kondensators
oder der radioaktive Zerfall. Es tritt auf, wenn die Änderung der Zahl der Individuen
einer Population (Frösche oder Seerosen im Teich, Bakterien in einer Nährlösung) proportional
zu ihrer Zahl und einer Vermehrungsrate ist. Die Differenzengleichung ∆N = λN ∆t
unterscheidet sich von der des Zerfalls in § 880 nur durch das fehlende Minus-Zeichen auf der
rechten Seite: hier ist die Änderung nicht negativ (Abnahme der Population) sondern positiv
(Zunahme der Population). Entsprechend ergibt sich als Differentialgleichung Ṅ = λN. Das
Lösungsverfahren ist völlig analog zu dem beim radioaktiven Zerfall. Separation der Variablen
liefert dN/N = λ dt, anschließende Integration führt auf ln N + ln c 1 = λ t. Berücksichtigung
der Randbedingung N(0)=N 0 führt auf die spezielle Lösung
N(t) = N 0 e λt . (7.39)
Exponentielles Wachstum tritt in der Physik (außer vielleicht in der Anfangsphase von Kristallwachstum)
nicht auf. Im Gegensatz zum exponentiellen Zerfallsgesetz ist exponentielles
Wachstum ohnehin eine Fiktion, da Wachstum stets schnell an seine Grenzen (begrenzter
Platz, Energie, Nährstoffe) stößt. Auf Grund der einfachen mathematischen Handhabbarkeit
ist exponentielles Wachstum aber dennoch ein gerne verwendetes Modell. Aufgaben 136 und
137 geben realistischere Beispiele für Wachstumsmodelle, die nicht zu einem exponentiellen
Wachstum führen.
Zerfallstyp mit additiver Konstante
§ 1012 Das Entladen eines Kondensators lässt sich mit Hilfe eines exponentiellen Zerfallsgesetzes
beschreiben. Das Aufladen findet jedoch keine Entsprechung in einem exponentiellen
Wachstum: die auf dem Kondensator befindliche Ladung q bewirkt eine Spannung u C = q/C,
die der zum Aufladen angelegten Spannung U entgegen gesetzt ist. Da nur die Differenz U −u
eine weitere Aufladung bewirkt, wächst q mit zunehmender Zeit (und damit zunehmender
Ladung) immer langsamer an. Die konstante an die Serienschaltung aus Widerstand R und
Kondensator C angelegte Spannung U fällt teilweise über dem Widerstand ab (ausgedrückt
mit Hilfe des Ohm’schen Gesetzes als u R = Ri = R ˙q), teilweise über dem Kondensator
(ausgedrückt als u C = q/C). Daraus ergibt sich eine DGL der Form
U = u R + u C = q C
+ R ˙q ⇒ ˙q = −
q
RC + U R .
Diese DGL unterscheidet sich von der die Entladung des Kondensators beschreibenden nur
durch den additiven Term, der die angelegte Spannung U enthält. Die DGL lässt sich durch
Separation der Variablen lösen,
dq
CU − q = dt
RC .
Zur Integration erfolgt durch die Substitution u = CU − q mit du = −1dq und wir erhalten
− ln(CU − q) =
t
RC + c
mit c als Integrationskonstante. Die allgemeine Lösung ist wegen CU = Q max
q(t) = Q max
(1 − e c−t/(RC)) :
Für die Anfangsbedingung q(t = 0) = 0 (keine Ladung auf dem Kondensator) ergibt sich als
spezielle Lösung:
q(t) = Q max
(1 − e −t/(RC)) :
die auf dem Kondensator befindliche Ladung q nähert sich mit zunehmender Zeit asymptotisch
dem Grenzwert Q max = CU an.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode