Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

514 ANHANG C. ERSTE HILFE
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
n = 6 1 6 15 20 15 6 1
n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1
n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Abbildung C.1: Pascal Dreieck
Dreieck verwendet werden, siehe Abb. Die einzelnen Zeilen geben die Koeffizienten (Vorfaktoren)
c i vor den verschiedenen Potenzen von a und b. Jede Zeile des Dreiecks ergibt sich aus
der voran gegangenen dadurch, dass man an den Außenrändern jeweils eine Eins ergänzt und
die inneren Koeffizienten als die Summe der rechts und links in der Zeile darüber stehenden
Koeffizienten bildet.
§ 1855 Die Koeffizienten c i sind wie folgt angeordnet:
(a + b) n = c 1 a n + c 2 b 1 a n−1 + c 3 b 2 a n−2 + . . . c n+1 b n .
Die erste Zeile entspricht
(a + b) 0 = 1 .
Das ist korrekt, da alle reellen Zahlen hoch Null, d.h. alls Ausdrücke x 0 , Eins ergeben. In
der zweiten Zeile steht einfach (a + b) 1 , also a + b. Die dritte Zeile (n = 2) entspricht der
klassischen binomischen Formel. Bis hier waren die Ergebnisse trivial. Für die vierte Zeile,
n = 3, erhalten wir aus dem Pascal Dreieck
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3b 2 a + b 3 .
Nachrechnen liefert
(a + b) 3 = (a + b) 2 · (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 ) · (a + b)
= a13 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3b 2 a + b 3 .
Für n = 3 hat das Pascal Dreieck offenbar funktioniert. Den erwarteten Ausdruck für n = 4,
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
überprüfen wir noch einmal direkt:
(a + b) 4 = (a + b) 2 (a + b) 2 = (a 2 + 2ab + b 2 )(a 2 + 2ab + b 2 )
= a 4 + 2a 3 b + a 2 b 2 + 2a 3 b + 4a 2 b 2 + 2ab 3 + a 2 b 2 + 2ab 3 + b 4
= a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 .
Bis n = 4 haben wir jetzt die Anwendbarkeit des Pascal Dreiecks gezeigt, für höhere Potenzen
glauben wir an dieser Stelle erst einmal, dass es korrekt ist.
C.1.2
Quadratische Gleichung
§ 1856 Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form
ax 2 + bx + c = 0 .
Durch Division durch a lässt sich eine derartige Gleichung stets auf eine Normalform
x 2 + px + q = 0
bringen; dabei ist p = b/a und q = c/a.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode