Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.4. ANWENDUNGEN 337
Die Drehung um die Knotenlinie ist eine Drehung um die x-Achse des aus der ersten Drehung
hervorgegangenen Systems (bezeichnet als ξ-Achse) um einen Drehwinkel ϑ:
⎛
D 2 = ⎝ 1 0 0
⎞
0 cos ϑ sin ϑ ⎠ .
0 − sin ϑ cos ϑ
Die letzte Drehung erfolgt um die z ′ -Achse um einen Winkel ψ
⎛
⎞
cos ψ sin ψ 0
D 3 = ⎝ − sin ψ cos ψ 0 ⎠ .
0 0 1
§ 1268 Für die Drehmatrix erhalten wir insgesamt
D = D 3 D 2 D 1 .
mit den Matrixelementen
D 11 = cos ψ cos ϕ − cos ϑ sin ϕ sin ψ
D 12 = cos ψ sin ϕ + cos ϑ cos ϕ sin ψ
D 13 = sin ψ sin ϑ
D 21 = − sin ψ cos ϕ − cos ϑ sin ϕ cos ψ
D 22 = sin ψ sin ϕ + cos ϑ cos ϕ cos ψ
D 23 = cos ψ sin ϑ
D 31 = sin ϑ sin ϕ
D 32 = − sin ϑ cos ϕ
D 33 = cos ϑ .
Zwischenrechnung 52 Auch wenn es mühsam ist, rechnen Sie zur Übung einmal die obigen
Matrixelemente nach.
Transformation auf krummlinige Koordinaten
§ 1269 Nicht nur Drehungen lassen sich mit Hilfe einer Transformationsmatrix darstellen.
Matrizen können auch bei der Transformation auf krummlinige Koordinatensysteme verwendet
werden. So kann die Transformation von kartesischen auf Kugelkoordinaten mit Hilfe
einer Matrix geschrieben werden als
⎛
⎝ ⃗e ⎞ ⎛
r
⃗e ϑ
⎠ = K⎝ ⃗e ⎛
x
sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ
⎠ mit K = ⎝
⃗e ϕ
⎞
⃗e y
⃗e z
cos ϑ cos ϕ cos ϑ sin ϕ − sin ϑ
− sin ϕ cos ϕ 0
§ 1270 Diese Schreibweise ist nicht ganz korrekt, da die Komponenten nicht reelle Zahlen
sondern Vektoren sind; sie beschreibt die Transformation aber sehr kompakt, da alle Koeffizienten
in der Matrix zusammengefasst sind. Die Matrix kann jedoch in einer korrekten
Schreibweise zur Transformation eines Vektors ⃗r von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten
verwendet werden
⎛
⎝ r ⎞ ⎛
x
r y
⎠ = K T ⎝ r ⎞
r
r ϑ
⎠
r z r ϕ
und entsprechend für die Transformation von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten
⎛
⎝ r ⎞ ⎛
r
r ϑ
⎠ = (K T ) −1 ⎝ r ⎞ ⎛
x
r y
⎠ = K ⎝ r ⎞
x
r y
⎠ ,
r ϕ r z r z
da für K als orthogonale Matrix gilt K T = K −1 und damit (K T ) −1 = K.
⎞
⎠ .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007