Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

372 KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
sind (und auch den ursprünglichen Formulierungen entsprechen), sind die differentiellen Formen
für eine weitere ‘Verarbeitung’ wesentlich einfacher zu handhaben. Diese gilt z.B. für
die teilweise eher exotischen Phänomene der Magnetohydrodynamik, es gilt aber auch für
das recht verbreitete Phänomen der elektromagnetischen Welle. Wir werden daher am Ende
dieses Kapitels die entsprechende partielle Differentialgleichung (Wellengleichung) herleiten;
Lösungsverfahren werden in Abschn. 11.3 diskutiert.
10.2 Differentiation: Divergenz und Rotation
§ 1391 In Abschn. 4.4.3 haben wir den Gradienten als Betrag und Richtung der maximalen
Steigung eines Skalarfeldes A kennen gelernt. Formal ergibt sich der Gradient durch Anwendung
des Nabla Operators, in kartesischen Koordinaten geschrieben als
⎛
∇ = ⎝ ∂/∂x
⎞
∂/∂y ⎠ ,
∂/∂z
auf eben ein Skalarfeld: da die Komponenten des Nabla Operators die partiellen Ableitungen
entlang der Koordinatenachsen enthalten, ergibt ∇A einen Vektor, dessen Komponenten
eben diese Steigungen sind. In krummlinigen Koordinaten werden die Ableitungen entlang
der durch die Basisvektoren gegebenen Richtungen bestimmt, vgl. (4.7) und (4.8).
§ 1392 In diesem Abschnitt wollen wir die Anwendung des Nabla Operators auf Vektorfelder
⃗ A näher untersuchen. Beim Gradienten haben wir die Verknüpfung von Operator und
Feld formal analog zur Multiplikation eines Vektors Nabla mit einem Skalar A behandelt.
Analog können wir die Verknüpfung des Nabla Operators mit einem Vektorfeld analog zur
Multiplikation zweier Vektoren betrachten: die dem Skalarprodukt entsprechenden Variante
∇ · ⃗A liefert ein skalares Feld. Diese Divergenz beschreibt die Quellstärke des Feldes. Die
dem Vektorprodukt entsprechende Verknüpfung ∇ × ⃗ A dagegen liefert ein Vektorfeld. Diese
Rotation beschreibt die Wirbelhaftigkeit des Feldes.
10.2.1 Divergenz
Definition 85 Die Divergenz eines Vektorfeldes ⃗ A(x, y, z) = (A x , A y , A z ) ist, in kartesischen
Koordinaten, das skalare Feld
div ⃗ A = ∇ · ⃗A = ∂A x
∂x + ∂A y
∂y + ∂A z
∂z .
§ 1393 Ebenso wie der Gradient ist die Divergenz eine lokale Größe; sie hängt von den drei
Raumkoordinaten ab, kann sich also von einem Punkt zum anderen ändern. Diese Tatsache
erklärt, dass die Divergenz ihrerseits wieder durch ein Feld beschrieben wird: es ist eben keine
globale Größe, für die ein einzelner Wert ausreichen würde, sondern eine lokale, also von ⃗r
abhängige Größe.
§ 1394 Rechentechnisch ist die Bestimmung der Divergenz gemäß obiger Definition kein
Problem. So erhalten wir z.B. für das Vektorfeldes A(x, ⃗ y, z) = (xy 2 , z 2 + y 2 , 4xyz 3 ):
⎛
∇ · ⃗A = ⎝ ∂/∂x
⎞ ⎛ ⎞
∂/∂y ⎠ · ⎝
xy2
z 2 + y 2 ⎠ = y 2 + 2y + 8xyz 2 .
∂/∂z 4xyz 3
§ 1395 Schwieriger ist dagegen das Verständnis des Begriffes. Das Gauß’sche Gesetz des
elektrischen Feldes,
∇ · ⃗E =
ϱ c
,
4πε 0
ist ein Beispiel für die Anwendung des Begriffes der Divergenz in der Physik. Auf der rechten
Seite steht die Ladungsdichte ϱ c . Diese beschreibt die Verteilung der Ladungen, d.h. der
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode